Oliy Matematika" kafedrasi Bilim sohasi 300000 "

2.2 § Chiziqli differensial tenglamalar sistemasini operatsion metod bilan yechish.

O`zgarmas koeffitsientli chiziqli birinchi tartibli ikkita differensial tenglamalar sistemasini Laplas almashtirishi yordamida yechilishini ko`ramiz: va noma’lum funksiyalar

(2.2.1)
boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi hususiy yechimni topish kerak.
Izlanayotgan funksiyalar x(t) va , tenglamalarni o`ng tomonidagi funksiyalar originallar bo`lsin. Ularning tasvirlarni mos ravishda quyidagicha belgilaylik:

u holda:

Tasvirni chiziqli xossasiga asosan:
(2.2.2)
(2.2.2) sistema (2.2.1) sistemaga nisbatan yordamchi sistema deyiladi, uni yechib va tasvirlarni topamiz; bu tasvirning originallari esa berilgan sistemaning yechimlari va bo`ladi.
Misol. 1)

sistemaning boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Yechish. bo`lgani uchun yordamchi sistema quyidagicha bo`ladi:
yoki
Bu sistemani yechamiz ,
yoki

Demak berilgan sistemani yechimi:

2)

Sistemani , boshlang`ich shartlarni qanoatlantruvchi yechimini
topamiz.
Yechish. Yordamchi sistema

Bu sistemani yechamiz va larni topamiz.

topilgan tasvirga asosan noma’lum funksiyalar va ni topamiz:

Yuqori tartibli chiziqli tenglamalar sistemasi ham shunga o`xshash yechiladi.

2-topshiriq

1. Berilgan tenglamaning y(0)=0 boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
1)_{ }
2)_{ };
3)_{ };
4)_{ };
5)_{ }
6)_{ }
7)_{ }
8)_{ };
9)_{ };
10)_{ };
11)_{ }
12)_{ }
13)_{ }
14)_{ };
15)_{ };
16)_{ }
17)_{ };
18)_{ };
19)_{ };
20)_{ }
21)_{ }
22)_{ }
23)_{ };
24)_{ };
25)_{ };
26)_{ }
27)_{ }
28)_{ }
29)_{ };
30)_{ }.
2. Berilgan tenglamaning boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
1)_{ };
2)_{ }
3)_{ }
4)_{ };
5)_{ };
6)_{ };
7)_{ }
8)_{ }
9)_{ };
10)_{ };
11)_{ };
12)_{ }
13)_{ }
14)_{ };
15)_{ };
16)_{ };
17)_{ }
18)_{ }
19)_{ };
20)_{ };
21)_{ };
22)_{ }
23)_{ }
24)_{ };
25)_{ };
26)_{ };
27)_{ }
28)_{ }
29)_{ };
30)_{ }.

3. Berilgan tenglamaning boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

1)_{ };
2)_{ };
3)_{ };
4)_{ };
5)_{ };
6)_{ };
7)_{ };
8)_{ };
9)_{ };
10)_{ };
11)_{ };
12)_{ };
13)_{ };
14)_{ };
15)_{ };
16)_{ };
17)_{ };
18)_{ };
19)_{ };
20)_{ };
21)_{ };
22)_{ };
23)_{ };
24)_{ };
25)_{ };
26)_{ };
27)_{ };
28)_{ };
29)_{ };
30)_{ }.
4. Berilgan tenglamaning boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
1)_{ };
2)_{ };
3)_{ };
4)_{ };
5)_{ };
6)_{ };
7)_{ };
8)_{ };
9)_{ };
10)_{ };
11)_{ };
12)_{ }
13)_{ }
14)_{ };
15)_{ };
16)_{ };
17)_{ };
18)_{ };
19)_{ };
20)_{ };
21)_{ }
22)_{ }
23)_{ };
24)_{ };
25)_{ };
26)_{ }
27)_{ }
28)_{ };
29)_{ };
30)_{ }.

5. Berilgan differensial tenglamalar sistemani , boshlang`ich shartlarni qanoatlantruvchi yechimini toping:

1._{ };
2._{ };
3._{ };
4._{ };
5._{ };
6._{ };
7._{ }
8._{ };
9._{ };
10._{ }
11._{ };
12._{ };
13._{ };
14._{ };
15._{ };
16._{ };
17._{ };
18._{ };
19._{ };
20._{ };
21._{ };
22._{ };
23._{ };
24._{ };
25._{ };
26._{ };
27._{ }
28._{ };
29._{ };
30._{ }.
-TARTIBLI CHIZIQLI TENGLAMALAR.
O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli tenglamalar.

Ushbu

(3.1)
tenglamani yechish uchun almashtirish yordamida
(3.2)
xarakteristik tenglama hosil qilinadi va uni yechib ildizlari to’iladi.
Tenglamaning umumiy yechimini yozish uchun quyidagi xollarni qaraymiz:

1. 
   -haqiqiy va har xil. U holda (3.1) tenglamani
   

umumiy yechimi
(3.3)
ko’rinishda yoziladi.

2. 
   ildizlar haqiqiy va ichida karralisi bor bo’lsin. Faraz
   

qilaylik ildiz karrali bo’lib, qolgan ta ildiz har xil bo’lsin. Bu xolda (3.1) tenglamaning umumiy yechimi
(3.4)
ko’rinishda ifodalanadi.

3. 
   ildizlar ichida kom’leks yechimlar ham bor bo’lsin.
   

Aniqlik uchun bo’lib qolganlari haqiqiy sonlar deb olaylik. U holda umumiy yechim
(3.5)
ko’rinishda bo’ladi.
Bu yerda ko’rinishdagi formuladan foydalaniladi.

4. 
   kom’leks ildizlar ichida karralisi ham bo’lsin.
   

Masalan, karrali , u holda ildiz ham karrali bo’ladi, unga mos umumiy yechim
(3.6)
ko’rinishda ifodalanadi.


Misol.'>Misol. Tenglamaning xarakteristik tenglamasini tuzing.
.
Yechish. Berilgan tenglamada

almashtirish bajaramiz. Buning uchun hosila olib, tenglamaga qo’ysak,
yoki ,
bundan xarakteristik tenglamani hosil qilamiz. Demak, ning darajasi tenglamadagi hosila tartibi bilan bir xil ekan.


Misol. Tenglamani umumiy yechimini to’ing.

Yechish. Tenglamada almashtirish bajaramiz. Undan tenglamada qatnashgan hosilalarni hisoblaymiz
.
To’ilgan hosilalarni tenglamaga qo’yib, ga bo’lish natijasida (3.2) ko’rinishdagi xarakteristik tenglamani hosil qilamiz:
.
Bu tenglamani ko’rinishda yozib, ildizlarga ega bo’lamiz. Barcha ildizlar haqiqiy va har xil. SHuning uchun (3.3) ko’rinishdan foydalanib, umumiy yechimini yozish mumkin, yaoni
.

Misol . Tenglamani yeching
.
Yechish. (3.2) formulaga ko’ra xarakteristik tenglamasi

ko’rinishga ega. Uni ildizlari bo’lib 2 karrali ildiz. Umumiy yechim (3.4) formulaga ko’ra ko’rinishga ega bo’ladi.