Oliy m iqti m sohasi: im yo‘nalis oliy V

21.81. 
 
21.82. 
 
21.83. 
 
21.84. 
 
21.85. 
 
21.86. 
 
21.87. 
 
21.88. 
(
)
; ;
z
f x y z
x
y
=
−
 
21.89. 
( )
1
;
arcsin
y
f x y
x
−
=
 
21.90. 
( )
;
arcsin
arccos
2
2
x
y
f x y
=
+
 
21.91. 
(
)
1
1
1
; ;
f x y z
x
y
z
=
+
+
 
 
 
Foydalanishgatavsiyaetiladiganadabiyotlar
roʻyxati 
 
1. 
Mike Rosser. Basic mathematics for economists. London and New York 
1993, 2003y. 
2. 
M.Harrison and P.Waldron Mathematics for economics and finance. 
London and New York 2011y. 
3. 
M. Hoy, J.Livernois et.al. Mathematics for Economics. The MIT Press, 
London& Cambridge, 2011. 
4. 
Robert M. Leekley, Applied Statistics for Businiess and Economics, USA, 
2010. 
5. 
Alpha C. Chiang, Kevin Wainwright, Fundamental Methods of 
Mathematical Economics, NY 2005 
( )
(
)
y
x
y
x
f
+
= ln
,
( )






−
−
=
1
4
9
ln
,
2
2
y
x
y
x
f
( )
(
)
2
2
,
y
x
Cos
y
x
f
+
=
( )
y
x
y
x
y
x
f
−
−
+
=
,
( )
2
2
25
,
y
x
y
x
f
−
−
=
( )
(
)
8
4
ln
,
2
+
−
=
x
y
y
x
f
( )
2
2
2
1
,
y
x
y
x
f
−
−
=

22-amaliy mashg‘ulot.  Funksiya limiti 
 
Funksiyalimitita’rifidanfoydalanibquyidagilarniisbotlang: 
22.1.
(
)
4
5
3
lim
3
=
−
→
x
x
 
Ixtiyoriy
0
>
ε
 
son uchunshungay
0
>
δ
topilib,  
δ
<
− 3
x
tengsizlikniqanoatlantiruvchibarchaxlaruchun
(
)
ε
<
−
−
4
5
3x
tengsizliko‘rinlibo‘lishiniko‘rsatishimizkerak. Ixtiyoriy
0
>
ε
 
son 
olaylik.  
(
)
(
)
ε
<
−
=
−
=
−
=
−
−
3
3
3
3
9
3
4
5
3
x
x
x
x
3
3
ε
<
−
x
.  Agar  
3
ε
δ
<
  deb  olsak,  
δ
<
− 3
x
tengsizlikniqanoatlantiruvchixlaruchun
ε
<
−
−
4
)
5
3
( x
tengsizliko‘rinlibo‘ladi. 
Shu bilian
4
)
5
3
(
lim
3
=
−
→
x
x
ekanligiisbotlandi. 
22.2.
3
)
1
4
(
lim
1
=
−
→
x
x
 
22.3.
1
lim
2
=
→
Sinx
x
π
 
22.4.
3
)
1
(
2
2
lim
=
−
→
x
x
,    δ ningqandayqiymatlarida
δ
<
−
<
2
0
x
tengsizlikdan
001
.
0
3
)
1
(
2
<
−
−
x
tengsizlikkelibchiqadi? 
 
∞
∞
,
0
0
ko‘rinishidagianiqmasliklarnioching: 
22.5.
1
1
1
)
1
)(
2
(
2
2
3
2
lim
lim
lim
2
2
2
2
=
−
=
−
−
−
=
+
−
−
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
22.6.
3
2
9
2
2
3
lim
−
−
−
→
x
x
x
x
 
 
22.7.
x
tgx
x
2
sin
lim
π
→
 

22.8.
x
x
x
x
2
cos
cos
sin
lim
4
−
→
π
 
 
22.9.
1
3
1
lim
0
−
+
→
x
x
x
 
22.10.
1
1
3
1
lim
−
−
→
x
x
x
 
 
22.11.
x
mx
x
1
1
3
0
lim
−
+
→
 
22.12.
x
x
x
x
−
−
+
→
1
1
lim
0
 
 
22.13.
x
Sin
tgx
tgx
x
2
1
1
lim
+
−
−
→
π
 
22.14.
3
3
2
1
7
5
lim
x
x
x
x
−
−
∞
→
                                        22.15.
1
1
2
3
lim
+
−
∞
→
x
x
x
 
22.16.
1
3
6
lim
+
−
∞
→
x
x
x
x
 
22.17.
8
6
3
3
2
lim
+
+
−
→
x
x
x
 
22.18.
1
2
3
2
1
lim
+
−
−
−
→
x
x
x
x
 
22.19.
Sinx
Cosx
x
+
+
→
1
lim
0
π
 
22.20.
49
3
2
2
7
lim
−
−
−
→
x
x
x
 
22.21.
1
2
5
3
1
2
2
2
2
3
4
2
3
4
1
lim
+
−
+
−
+
−
+
−
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
22.22.
x
x
x
+
−
−
−
→
4
3
1
6
lim
5
22.23.
2
3
2
4
2
3
2
2
1
lim
+
−
−
−
−
−
→
x
x
x
x
x
x
 
22.24.
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
−
+
+
→
2
2
2
0
1
1
lim
 
1
lim
0
=
→
x
Sinx
x
ajoyiblimitdanfoydalanibquyidagilimitlarnitoping: 
22.25.
7
6
7
6
7
7
7
6
6
6
7
6
lim
lim
lim
0
0
0
=
=
=
→
→
→
x
x
x
x
x
Sin
x
x
x
Sin
x
Sin
x
Sin
x
x
x
 
22.26.
x
x
Sin
x
4
lim
0
→
22.27.
xSinx
x
Cos
x
2
1
lim
0
−
→
 
22.28.
h
h
x
Sin
h
x
Sin
h
)
(
)
(
lim
0
−
−
+
→
22.29.
2
0
1
lim
x
Cosx
x
−
→
 

22.30.
1
1
4
lim
0
−
+
→
x
x
Sin
x
22.31.
x
x
Cos
x
2
1
lim
0
0
−
−
→
 
22.32.
1
sec
2
lim
0
−
⋅
→
x
Sinx
x
x
22.33.
xSinx
x
tg
x
Cos
x
2
0
2
1
lim
+
−
→
 
22.34.
x
x
x
x
2
)
2
arcsin(
2
2
lim
+
+
−
→
22.35.
x
Cos
x
Cos
x
3
1
5
1
lim
0
−
−
→
 
22.36.
x
Sin
x
Cos
x
4
5
lim
2
π
→
22.37.
Cosx
Cosx
Cosx
Cosx
x
2
3
2
1
lim
0
−
+
−
+
→
 
22.38.
)
2
(
1
lim
2
x
Sinx
x
−
−
→
π
π
22.39.
Cosx
x
Sin
x
Cos
x
2
2
lim
2
−
→
π
 
 
 
Limitlarnitoping: 
22.40.
1
2
3
2
1
lim
+
−
−
→
x
x
x
x
22.41.
3
3
9
2
3
lim
−
−
→
x
x
x
 
22.42.
a
x
x
ax
a
x
−
−
→
lim
22.43.
1
4
2
2
3
5
2
2
lim
+
+
+
−
∞
→
x
x
x
x
x
 
22.44.
2
1
2
1
2
5
lim
x
x
x
x
−
+
∞
→
22.45.
Sinx
Cosx
x
Cos
x
Sin
x
−
−
−
→
1
2
2
lim
4
π
 
22.46.
2
2
0
2
lim
x
x
Sin
x
→
22.47. 
2
2
3
lim
0
−
+
→
x
x
Sin
x
 
22.48.
1
4
)
2
1
arcsin(
2
5
1
lim
−
−
→
x
x
x
22.49.
2
0
1
lim
x
Cosmx
x
−
→
 
22.50.








+
−
−
−
−
→
2
)
2
(
1
2
2
2
4
)
2
(
lim
x
x
x
x
Sin
22.51. 
3
0
lim
x
Sinx
tgx
x
−
→
 

22.52. 
h
h
x
Cos
h
x
Cos
h
)
(
)
(
lim
0
−
−
+
→
22.53.
0
0
lim
0
x
x
tgx
tgx
x
x
−
−
→
 
22.54.
x
Cosx
Sinx
x
4
lim
4
−
−
→
π
π
22.55.
1
7
3
6
5
3
2
2
3
2
4
lim
−
+
+
−
+
+
∞
→
x
x
x
x
x
x
x
 
22.56.
)
1
7
2
)(
2
(
)
1
)(
5
4
2
(
2
3
4
2
3
lim
−
+
+
+
+
+
+
+
+
∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
22.57.
(
)(
)
2
3
3
3
3
3
3
)
3
(
2
2
2
2
2
2
2
lim
lim
lim
=
+
+
−
+
=
+
+
+
+
−
+
=
−
+
+∞
→
+∞
→
+∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
22.58.






−
−
−
→
1
2
1
1
2
1
lim
x
x
x
22.59. 
(
)
x
x
x
x
x
−
−
+
+
+∞
→
2
2
1
lim
 
22.60.






−
−
−
→
8
12
2
1
3
2
lim
x
x
x
22.61.












−
→
2
4
1
1
2
2
0
lim
x
Sin
x
Sin
x
 
22.62. 
(
)
x
x
x
x
4
1
2
2
lim
−
−
+
−∞
→
22.63. 






−
+
+
−
→
4
4
2
1
2
2
lim
x
x
x
 
22.64.
ctgx
x
Sin
x
⋅
→
2
lim
π
 
22.65. 
;
1
1
2
lim
x
x
x





 −
∞
→
  Bu limitnihisoblashda
e
x
x
x
=





 +
∞
→
1
1
lim
ajoyiblimitdanfoydalanamiz: 
1
lim
lim
1
1
1
1
0
1
2
2
2
2
2
lim
lim
=
=
−
=
=














−
+
=





 −
∞
→
∞
→





 −
−
−
∞
→
∞
→
e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
22.66. 
x
x
x
2
5
1
lim





 +
∞
→
22.67. 
x
x
x
x






−
+
∞
→
1
2
1
2
lim
 

22.68.
(
)
x
x
x
x
−
→
−
1
0
4
1
lim
  22.69. 
x
x
x
x






−
+
∞
→
2
8
lim
 
22.70. 
x
x
x
x
x
x






+
−
+
−
∞
→
1
4
1
2
2
2
lim
 
22.71. 
1
3
1
3
1
3
lim
+
∞
→






−
+
x
x
x
x
 
22.72. 
x
x
x
x
5
2
3
2
2
lim
−
∞
→






−
 
 
Ko‘po‘zgaruvchilifunksiyalarninglimitinitoping: 
22.73.
2
2
3
0
)
(
lim
x
y
x
Sin
y
x
⋅
→
→
 
3
)
sin(
)
sin(
lim
lim
lim
3
0
2
2
3
0
2
2
3
0
=
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
→
→
→
→
→
→
y
y
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
 
22.74. 
0
,
2
0
0
lim
≠
−
−
→
→
a
xy
xy
a
a
y
x
 
22.75.
y
xy
tg
y
x
)
(
lim
0
3
→
→
22.76.
xy
Sin
y
x
y
x
1
)
(
2
2
0
0
lim
⋅
+
→
→
 
22.77. 
x
a
y
x
x
y 




 +
→
∞
→
1
lim
22.78.
2
2
2
2
0
0
1
1
lim
y
x
y
x
y
x
+
−
+
→
→
 
22.79. 
(
)
2
2
1
2
2
0
0
1
lim
y
x
y
x
y
x
+
→
→
+
+
 

23-amaliy mashg‘ulot.Funksiyauzluksizligi 
 
23.1.Quyidagifuksiyalarningko‘rsatilgannuqtalaridabirtomonlilimitlarinito
ping:  
a) f(x)=



≤
≤
+
<
<
+
3
1
,
1
3
1
0
,
1
x
agar
x
x
agar
x
x=1  nuqtasida 
2
)
1
(
)
(
)
0
1
(
lim
lim
0
1
0
1
=
+
=
=
−
−
→
−
→
x
x
f
f
x
x
 
4
)
1
3
(
)
(
)
0
1
(
lim
lim
0
1
0
1
=
+
=
=
+
+
→
+
→
x
x
f
f
x
x
 
b) 



≤
<
≤
≤
−
=
3
1
,
2
1
1
,
3
)
(
x
agar
x
x
agar
x
x
f
x=1   x=2  nuqtalarda 
c) 
{ } { }
x
x
x
y
−
=
,
ningkasrqismi;     x=1,   x=2,    x=3 nuqtalarda 
d) 
1
,
1
1
3
)
(
=
−
+
=
x
x
x
x
f
nuqtada 
23.2.Quyidagifunksiyalarninguzluksizliginita’rifgabinoanisbotlang. 
a)   
2
)
(
2
−
+
=
x
x
x
f
barcha
(
)
+∞
∞
−
∈
;
x
larda 
=
−
+
−
−
∆
+
+
∆
+
=
−
∆
+
→
∆
→
∆
))
2
(
2
)
(
)
((
))
(
)
(
(
2
2
0
0
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
 
0
)
2
(
2
0
lim
=
∆
+
∆
+
∆
⋅
=
→
∆
x
x
x
x
x
 
Demak,  f(x)barcha
)
;
(
+∞
−∞
∈
x
lardauzluksiz. 
b) 
,
)
2
3
sin(
)
(
+
=
x
x
f
barcha
)
;
(
+∞
−∞
∈
x
larda 
c)  
1
1
)
(
+
=
x
x
f
, barcha
)
;
1
(
+∞
−
larda 
Quyidagifunksiyalarninguzilishnuqtalarivaularningturlarinianiqlang. 
Grafiklariniyasang: