Olimpiada masalalari

Isbotlandi

8. ABCDEF uchun va shartlar bajarilsa u holda ekanini isbotlaang.


Isboti:



chunki DP=EF va AP=BC chunki ABCP va FPDE#=>





va (3) ga ko’ra

Isbotlandi.

9. ABCD 4 ga ichki aylana chizish mumkin va uning ichiga shunday 4 ta aylana chizilganki ularning 1 tasi aylananing 2 ta tomoniga va 2 ta aylanaga urunadi ham chunday olib boriladi. U holda ularning 2 tasining radiusi qolgan 2 tasining radiusiga tengligini isbotlang.


Isboti:


(1)
orinli.









Isbotlandi.


10. Berilgan . A-bissektrisasi davomida shunday A₁ va C₁ (.)lar olinganki bunda ning o’rtasi M(.) bolsa u holda BM=CM ni isbotlang.


Isboti: lar 1-aylanada yotadi.

(.)lar 1-aylanada yotadi. =>


BM=CM Isbotlandi.


11. w₁ va w₂ aylanalar markazlari O₁ va O₂ hamda ular A va B (.) larda kesishadi. w₁ aylanada M(.) olingan MA va MB lar w₂ ni P va Q(.) da kesadi. Agar AO₁ BO₂ –siklik bo’lsa AQ bilan BP t/chlar w₁ da kesishishini isbotlang.


Isboti:

bir t/ch yotadi.
Demak BP bilan QA t/ch w₁ aylanada kesishadi.
Isbotlandi.


12. ABCDga tashqi chizilgan w aylana berilgan. Agar ga tashqi chizilgan w₁ aylana w ga urnma bo’lsa u holda ga tashqi chizilgan w₂ aylana ham w ga urinishini isbotlang.
Isboti: l₁ – to’g’ri chiziq w₁ va wga C (.) urinadi.
l₂ – tikh w ga A(.) urinadi => l₂ –w₂ ga A(.) urinma ekani isb.


ga tashqi chizilgan aylanaga l₂-t/ch A(.)da urunadi.
Isbotlandi.


13. ABCD# ichida K(.) olinganki AD ning o’rtasi L(.) olingan KL=LC. x.m.d. DC da o’rtasi M(.) olingan Mx-AM bo’lsa. Agar BK ning o’rtasi N(.) bo’lsa u holda Isb: .


Isboti: CL=LQ bo’ladigan Q(.) olamiz => ACDQ# bo’ladi.

Isbotlandi.
14. da AD-bissektrisa hamda va larga tashqi chizilgan aylanalarda D(.) yaqin joydan l t/ch urinma o’tkazilgan u aylanalarda M va N (.)larda urinadi. Isb: BD, DC va MN kesmalarning o’rtalaridan o’tuvchi aylana MNga urinma.


Isboti: ga tashqi chizilgan aylana markazlari mos ravishda O₁ va O2(.) bo’lsin. Agar BD,DC,MN,DO₂ va O₁O₂ kesmalarning o’rtasi mos ravishda A₁;A₂;K;E; va O(.) bo’lsin.



Isbotlandi.


15. ABCD# va AMPN ham #. Bunda . Agar bo’lsa, u holda Isb: to’g’ri chiziqqa
Isboti: faraz qilaylik C, P, Q (.) lar bir t/ch yotmasin u holda bo’lsin. Hamda






(1)ga ko’ra=>



(2) va (3) => P(.) va S(.)lar ustma ust tushadi.
Isbotlandi.
16. ning A-uchidan AD-medyana va AE-bissektrisa tushurilgan E(.)dan Abga || t/ch AD ni M (.) kesadi Isb:
Isboti: bo’lsin





BC ning o’rtasi D(.) va DP||AC =>AB ning o’rtasi P(.) bo’ladi=> (2)
(1)va(2)=> lar bir t/ch yotadi.



Isbotlandi.


17. ABCD 4 ning AB va CD tomonlari o’rtalari M va N (.)lar bo’lsa, u holda ni isbotlang.
Isboti: CM ning davomida K(.) olinganki bunda




Isbotlandi.
18. da -burchagi o’tmas. PQ kesmaning o’rtasi A(.) bo’lsa. Isb: AB=C, AC=b, BC=a va BA ning davomida K(.) olinganki AB=AK bo’ladi=>BPKQ# bo’ladi ni isbotlash yetarli









-o’tmas bo’lgani uchun o’rinli. Demak Isbotlandi.


19. (kapalak teoremasi) w aylanada AB vatar C(.) uning o’rtasi PQ va MN lar C(.) dan o’tuvchi vatarlar. u holda ekanini isbotlang. (M va P(.)lar AB dan 1tomonda)


Isboti: bo’ladi. K(.) dan MN va PQ ga kM₁; KQ₁ tushirilgan. R dan QP va MN ga RP₁ va RN₁ lar tushuramiz=>

demak Isbotlandi.

20. berilgan, BM va CN bissektrisalari MN t/ch ni tashqi chizilgan aylanani D(.)da kesadi. Isb:
Isboti: D(.)dan AC,BC,AB tomonlariga mos ravishda DB₁, DA₁,AC₁ tushirilgan xuddi shunday ni isbotlaymiz. M va N(.) lardan n lar uzunligi a va b bo’lsin.





Isbotlandi.


21. ning AB, BC, AC tomonlarida C₁,A₁ va B₁(.)lar shunday olinganki AA₁,BB₁,CC₁ lar bir (.) da kesishadi, M-A₁(.) ni B₁C₁ dagi proeksiyasi. Isb: ning bissektrisasi ekan.


Isboti:

demak Isbotlandi.


22. Berilgan ni tomonlari tashqi ravishda teng yonli yasalgan uchidagi A₁, B₁, C₁ bo’lgan va dir. u holda ning li ekanini isbotlang.
Isboti: uchlaridagi lari yig’indisi 360⁰

Isbotlandi.
23. va tekistlikdagi t/ch bilan. A,b,c uchlardan l t/chgacha bo’lgan masofalar yig’indisini toping. Agar ning og’irlik markazidan l t/ch gacha bo’lgan masofa a ga teng bo’lsa.
Yechim: G-og’irlik l t/chqa BB₂, TT₂, GG₁ , AA₁, B₁B₃, C₁C tushirilgan bunda T-BG ning o’rtasi trapetsiyaning o’rta chizig’I



24. O’tkir li da AD, BF balandliklar H(.)da kesishadi. G-ogirlik markazi, bunda AB ni o’rtasi E. Agar bo’lsa, Isb: AC=BC
Isboti: Demak E(.) bilan D(.) ustma-ust tushishini isbotlash yetarli. Faraz qilaylik ustma-ust tushmasin u holda



demak bo’ladi. Isbotlandi.
25. da va AD-balandlik tushirilgan. va larga ichki chizilgan aylana markazlardan o’tilgan AB va AC tomonlarda K va L(.) da kesadi => Isb:
Isboti: da ichki chizilgan aylana markazi O₁(.)
da ichki chizilgan aylana markazi O₂(.)
O₁ va O₂(.)lardan AC, AB va AD tomonlarda tushurilgan asoslari x₁, x₂; y₁, y₂; va z₁, z₂ bo’lsin.



Isbotlandi.


26.w aylanada AA₁, BB₁ va CC₁ vatarlari K(.) kesishadi va ular 60⁰ li lar hosil qiladi. u holda Isb: AK+BK+CK=A₁K+B₁K+C₁K


Isboti: O(.)-aylana markazi O(.) dan AA₁,BB₁,CC₁ larga tushirilgan lar asoslari R, Q, P(.)lar bo’lsin va OKP= bo’lsin =>



bo’ladi.

Demak Isbotlandi.

27. ABCD 4 ning AB=a, BC=b va CD=c hamda ABC= va bo’lsa, u holda Isb: S=0.5 (S-ABCDning yuzi)


Isboti: Shunday E(.) olamizki bunda ABCE# bo’ladi.
bo’lsin.

Demak Isbotlandi.


28. Tengyonli ABCD trapetsiyada AD||BC va bo’lsa M(.)dan AB ga tushirilgan t/ch ga tashqi chizilgan aylana markazidan o’tishini isbotlang.
Isboti: Semma: da C uchidan CC₁-balandlik va CL-bissektrisa tushirilgan. CC₁ ni CL ga nisbatan simmetrik ko’chirgan to’g’ri chiziq ga tashqi chizilgan aylana markazidan o’tadi.
CC₁-ning CL ga nisbatan simmetrik ko’chirganda CC₂ ga o’tadi
CC₂ t/ch ga tashqi chizilgan aylana markazidan o’tishi ko’rinadi.
Demak Semma Isbotlandi.


29. ning ichida Shunday M(.)olinganki bunda tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.
Isboti: Semma: ABCD 4 ichida M(.)Uchun quyidagi tengsizlik o’rinli: MA+MB
Aytaylik bo’lsin u holda quyidagilar o’rinli


semma isbotlandi.
AB, AC, BC tomonlarning o’rtasi F, E, D(.) bo’lsin.
Aytaylik bo’ladi lemmaga asoslangan holda demak qolgan hollarda ham xuddi shunday isbotlanadi.
Isbotlandi.


30. Qavariq olti burchakning hamma burchaklari teng bo’lsa u holda Isb: AB-DE=EF-BC=CD-FA (ABCDEF-qavariq bo’lgan)
Isboti: ABCK, CDEL, AFEM# larni yozamis, bunda ABCDEF ning hamma burchaklari 120⁰ ga teng bo’ladi.
Isbotlandi.


31. ABCD# betilgan. Markazi P(.)da bo’lgan aylana va AB bilan AC ning davomiga urinadi. Markazi Q(.) da bo’lgan aylana va AC bilan AD ning davomida uzunadi. Markazi P(.) bo’lgan aylana AB bilan K(.) da, markazi Q(.) bo’lgan aylana AD bilan L(.) da urinadi. bo’lsa. Isb: KM=NL
Isboti: Semma: Markazi P(.) bo’lgan aylana BC;AC ga R;E(.) urunadi. Markazi Q(.) bo’lgan aylana DC;AC ga S;F(.) urunadi

xuddi shunday
(1)=(2)
demak E va F (.) lar ustma-ust tushadi=> markazi P va Q(.) da bolgan aylanalar AC to’g’ri chiziq bir nuqtada urinadi.
deb olamiz. P va Q(.) markaz bo’lsa =>AQ va AP-bissektrisa => bo’ladi



Isbotlandi.


32. ning AB, BC, AC tomonlarida mos ravishda D, E, F(.)lar olingan. d₀, d₁, d₂, d₃ lar larning eng katta tomoni. U holda isb:
Isboti: Teskarisidan faraz qilamiz yaniy bo’lsa
Aytaylik

Isbotlandi.
33. ABC uchburchakning AB tomoning o’rtasi D(.). E va F(.) lar AC va BC tomonlardagi (.)lar bo’lsa. U holda quydagi tengsizliklarni isbotlang:



Isboti: FD to’gri chiziqda shunday F¹(.) olamizki bunda FD=DF¹ bo’ladi.



Isbotlandi.