O‘lchovli vektorlar tartib bilan berilgan

n - O‘LCHOVLI VEKTORLAR


Tartib bilan berilgan n ta sonlar to‘plami n o‘lchovli vektor deb aytiladi va quyidagicha belgilanadi:
X^x₂^,...^,x⁾ (1)
bu yerda x_t vektorning i - koordinatasi deb ataladi.
Vektorning o‘lchovi uning koordinatalari soni bilan aniqlanadi. Masalan,
(2; 3) - ikki o‘lchovli vektor, (2; 5; -4) - uch o‘lchovli, (1; 3; -2; -4; 7) - besh o‘lchovli,
(x₁, x₂,...,x_n) - n o‘lchovli vektor.
Vektorni songa ko‘paytirish uchun uning har bir koordinatasini shu songa ko‘paytirish kerak, ya’ni
XX = (Ax₁,Ax₂,...,Ax_n) (2)
X = (xj, x₂,...,x_n) va Y=(yj , y₂,...,y_n) vektorlarning yig‘indisini (ayirmasini) topish uchun ularning mos koordinatalari qo‘shiladi (ayriladi), ya’ni
^X ± ^Y = ^(xi ± У^ ^x2 ± У2^,...^{, x}n ± Уп ⁾ (3)
Ikkita vektorning mos koordinatalari teng bo‘lsagina ular teng bo‘ladilar.
Barcha koordinatalari nollardan iborat bo‘lgan vektor nol vektor deb aytiladi va в harfi bilan belgilanadi, ya’ni
в=(0,0,...,0) (4)
Vektorni songa ko‘paytirish va vektorni vektorga qo‘shish (ayirish) chiziqli amallar deyiladi. Chiziqli amallarning xossalari:

1. 
   X+Y=Y + X
   
2. 
   (X+Y)+ Z = X + (Y + Z)
   
3. 
   X(X+Y)=XX + AY
   
4. 
   (a + p)X = a X + p X
   
5. 
   a(pX)=(a-p)-X
   
6. 
   0-X = ав = в
   

Ikkita bir xil o‘lchovli vektorlarning skalyar ko‘paytmasi deb, ular mos koordinatalari ko‘paytmalarining yig‘indisiga aytiladi va quyidagicha belgilanadi:
^XY = ^xi У1 + ^x2 У 2 +... + ^xnyn (5)
Skalyar ko‘paytmaning xossalari

1. 
   X- X >0, bunda X- X=0 faqat X=в bo‘lgandagina
   
2. 
   X-Y=YX
   
3. 
   (X + Y)Z=Xz + Yz
   
4. 
   (XX)-Y = X(XY)
   

|x| =
jx-x =^xf + x\ +... + x2 sonXvektorning moduli yoki uzunligi deyiladi.
Agar ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi nolga teng bo‘lsa, bu vektorlar orthogonal (perpendikulyar) bo‘ladilar, ya’ni
X-Y=0 (6)
bo‘lsa, X va Y lar o‘zaro perpendikulyar.
Agar ikkita bir xil o‘lchovli vektorlarning mos koordinatalari proporsional bo‘lsalar, bu vektorlar o‘zaro kollinear bo‘ladilar, ya’ni

Xl~-^x_n У1 У2 ... Уп

bo‘lsa, X va Y lar o‘zaro kollinear.
Bir nechta bir xil o‘lchovli vektorlarning birgalikda berilishi vektorlar sistemasi deb yuritiladi.
Ta’rif.
Xi, X2,..., Xm (8)
vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi deb
^A1 ^X1 +Д2 ^X2 ⁺ ... + ^Am^Xm ⁽⁹⁾
ko‘rinishdagi yig‘indiga aytiladi; bu yig‘indi vektorni beradi; bu yerdagi A₁,A₂,...,A_m lar haqiqiy sonlar bo‘lib, chiziqli kombinatsiyaning koeffitsiyentlari deyiladi.
Agar hech bo‘lmaganda A₁,A₂,...,A_m lardan bittasi noldan farqli bo‘lganda
kombinatsiya nol vektorga #teng bo‘lsa, vektorlar sistemasi (8) chiziqli bog‘liq deb aytiladi. Agar
^A1 X! +^2 ^X2 +... + ^Am^Xm = & ⁽¹⁰⁾
tenglik faqat A₁,A₂,...,A_m = 0 bo‘lgandagina o‘rinli bo‘lsa, vektorlar sistemasi (8) chiziqli
bog‘liqmas (chiziqli erkli) deyiladi.
Vektorlar sistemasi (8) dan ixtiyoriy к tasini tanlab olamiz, ular
Xi, X2,..., X, (11)
bo‘lsin (k ).
Ta’rif. Agar vektorlar guruhi (11) chiziqli erkli bo‘lsa va (8) sistemaning ixtiyoriy vektorini ularning chiziqli kombinatsiyasi shaklida ifodalab bo‘lsa, ya’ni
^Xj =^A1 ^X1 +^A2 ^X 2 + ... + ^Ak^Xk ^(J =^i,2,...^{, m) (12)} kabi ko‘rinish o‘rinli bo‘lsa, vektorlar guruhi (11) berilgan vektorlar sistemasi (8) ning bazisi deb yuritiladi. Bunda haqiqiy sonlar A₁,A₂,...,A_k lar X . vektorlarning (11) bazisdagi
koordinatalari deyiladi. Bazisga kirgan vektorlar soni sistemaning rangi deyiladi.
Bir o‘lchovli vektorlardan ixtiyoriysi (noldan farqlisi) barcha bir o‘lchovli vektorlarning bazisi bo‘ladi; ikki o‘lchovli vektorlarning chiziqli bog‘lanmagan ixtiyoriy ikkitasi bazis bo‘ladi, uch o‘lchovli vektorlardan chiziqli bog‘lanmagan ixtiyoriy uchtasi bazis bo‘ladi.
Barcha n o‘lchovli vektorlar (ular soni cheksiz ko‘p)dan chiziqli bog‘lanmagan ixtiyoriy n tasi bazis bo‘ladi; bazislar soni cheksiz ko‘p bo‘lishi mumkin.
Agar m ta n o‘lchovli vektorlar sistemasi berilgan bo‘lsa (m > n) bu sistemaning bazislari soni ko‘pi bilan m - elementdan n tadan tuzilgan guruhlashlar soniga teng bo‘ladi:
_Cn_ m! ^m n!(m - n)!
Agar m < n bo‘lsa sistemaning bazisi bo‘lmasligi ham mumkin.
Vektorlar sistemasining bazisini (m > n) topish uchun, bu sistemaning ixtiyoriy n ta vektorini olib, ularning koordinatalaridan determinant tuzib, uni hisoblaymiz. Agar determinant qiymati noldan farqli bo‘lsa, olingan vektorlar bazisni tashkil qiladi; agar determinant nolga teng bo‘lsa olingan vektorlar bazis bo‘la olmaydilar.
Bazisni topish uchun ikkinchi usul ham bor: vektorlar koordinatalaridan matritsa tuzamiz va bu matritsani elementar o‘zgartirib, undan n o‘lchovli birlik matritsa ajratamiz; birlik matritsani tashkil qilgan vektorlar bazis bo‘ladilar; bazisga kirmagan vektorlarning o‘zgargan koordinatalari bu vektorlarning topilgan bazisdagi koordinatalari bo‘ladilar.
Agar X₁, X₂,..., X_m vektorlarning har bir jufti ortogonal bo‘lsalar, bu sistema - ortogonal sistema deb yuritiladi. Agar vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo‘lsa, uni hamma vaqt

^X1	X 2
^X1	X 3
^X1	X 4
X1	X 5
X 2	- X 3
X 2	- X 4
X 2	- X 5
X 2	- X 4
X 3	- X 5
X 4	- X 5
X1 ,	X 2:
X1,	X 3:

X₅ = 6-12 + 0 - 3 + 2 - (-3) + (-2) - 3 = 72 - 6 - 6 = 60
X₄ - X₅ = 4-12 + 1- 3 + (-1)-(-3) + 1- 3 = 48 + 3 + 3 + 3 = 57

3. 
   0 1 -1
   

—

• 
  2 5 6 0
  

3-0-1-z!
6=0=2=-2
(Izoh: bunday holatda 0 istalgan qiymatni qabul qiladi deb hisoblanadi)

3	0	1	-1
-Ф	-Ф-	= -
4	1	-1	1
3	0	1	- 1
— Ф-Ф— =			:
12	3	-3	3
-2	5	6	0
	Ф —	Ф —=
6	0	2	-2
-2	5	6	0
	Ф —	Ф :	= —
4	1	- 1	1
-2	5	6	-1
	Ф —	Ф	=
12	3	-3	3
6	0	2	- 2
— Ф	— Ф	= -
4	1	- 1	1
6	0	2	1

—ф—ф—=— 12 3 - 3 3


X4, X5: — =¹ = — =¹

3. 
   ⁵ 12 3 -3 3
   

Javob:

1.