Of scientific conference "actual problems of stochastic analysis"

Ergodic  theorems  for  flows  in  Banach  ideals  of compact 

operators

A z iz o v   A . N .,  C h ilin   V . I.

National  University  of  Uzbekistan,  Tashkent,  Uzbekistan 

National  University  of  Uzbekistan,  Tashkent,  Uzbekistan

azizov.07@ mail.ru,  vladimirchil@ gm ail.com

I n t r o d u c t i o n

Advancing  Lance’s  extension  of  the  pointwise  ergodic  theorem   for  actions  of  the 

group  of  integers  on  von  N eum ann  algebras,  Conze  and  Dang-Ngoc  [1]  and  W atanabe 

[8]  studied  continuous  extensions  of  Lance’s  results.  In  particular,  th e  noncom m utative 

ergodic  theorem s  were  established  for  actions  of th e  semigroups  R+  and  R+  respectively. 

The  corresponding  ergodic  theorem   for  actions  of  R+  and  w ith  respect  to  bilaterally 

alm ost  uniform   convergence  (in  Egorov’s  sense)  was  initially  considered  by  Junge  and  Xu 

[5].  In  p articular,  they  derived  th a t  these  averages  converge  bilaterally  alm ost  uniformly 

in  any  noncom m utative  Lp-space  for  1  <   p  <   ж   and  alm ost  uniform ly  if  2  <   p   <   ж .

Denote  by  {Tt }t>0  a  strongly  continuous  semigroup  of  Dunford-Schwartz  operators 

acting  in  fully  sym m etric  ideal  CE  of  com pact  operators,  and  let

1  f l

At (x)  =   -  

Ts(x)ds,  x  G  CE , t  >   0, 

t  J 0

be  th e  corresponding  ergodic  averages.  We  establish  th a t  the  net  At (x)  converge  to   some 

x   G  CE  w ith  respect  to   th e  uniform   norm   ||  ■

  ||те  as  t  M   ж   for  all  x  G  CE.  Besides,  we 

show  th a t  if  CE  =   C1  and  (E ,  ||  ■

  ||E)  С  c0  is  separable  space,  th en   ||At (x)  -   ж||Ce  M   0 

as  t  M   ж .  Note  th a t,  along  w ith  any  Schatten  ideals  Cp,  1  <   p  <   ж ,  of  com pact 

operators,  th e  family  of  such  fully  sym m etric  ideals  CE  contains  m any  noncom m utative 

counterparts  of  classical  sym m etric  sequence  space,  examples  of  which  are  given  in  the 

last  section  of this  note.

P r e li m in a r ie s

Let 

(respectively,  c0)  be  th e  Banach  lattice  of  bounded  (respectively,  converging  to 

zero)  sequences  {Cn }^^=1  of complex num bers  equipped  w ith th e  uniform  norm   |{ ^ n} | ^   =  

sup  |£n |,  where  N   is  th e  set  of n a tu ra l  num bers.

nGN

If  С  =   {Cn }^^=1  G 

,  then  th e  non-increasing  rearrangem ent  £ *  =   {СП}

п

= 1  of  £  is 

defined  by

£n  =   inf (

sup

  |£n |  :  F   С  ^   |F  1 <   n

LnG-F

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