Of scientific conference "actual problems of stochastic analysis"

H   :  Q  m   R   of th e  SOS  model  is  given  by  th e  formula  (1).

For  a  finite  dom ain  D   С  V   w ith  th e  boundary  condition 

given  on  its  complement 

D c  =  V \ D ,   th e  conditional  H am iltonian  is

H  (aD\ 

I an (x)  -   a n (y) I -   J  

I a n (x)  -   u(V ) \. 

(2)

(x , y ) , 

( x , y ) ,

x , y £ D  

x £ . D , y £ . D c

A  probability  m easure  Q  on  (Q , B )  (where  B   is  th e  a -algebra  generated  by  cylinder 

subsets  of Q)  is  called  a Gibbs m easure  (w ith H am iltonian  H )  if it  satisfies th e  D obrushin- 

Lanford-Ruelle  (DLR)  equation:  for  all  finite  D   С  V  and  a D  С  QD:

^ ({ ш  E  Q : 

u

\

d

  =  aD} ) =  

M d ^ D(aD),

п

368

---

where  uD  is  the  conditional  probability  (finite-volume  Gibbs  measure):

uD (an )  =   i = ^ e x p ( - e H  (a D |^

dc

 ) .

Z D,tp

Here,

Z

d

,

v

  =   ^ 2   e x p ( - в Н (SDI^dc)).

CTD GH

d

Since  only  neighboring  vertices  interact,  th e  GM  satisfies  th e  M arkov  property,  if  a 

configuration wWn  is  given,  th en  th e  configurations  in  Vn-1,  i.e.  inside  Wn ,  and  in  V \  Vn+1,

i.e.  outside  Wn  are  (conditionally)  independent.

It  is  known  th a t  for  any  в   >   0  th e  set  of  all  GMs  forms  a  nonem pty  convex  com pact 

subset  in  the  space  of  all  probability  m easures  (see,  for  example,  [1],  [2],  [7]).

Fix  x 0  G  V.  For  x, y  G  V  we  will  w rite  x  <   y  if  th e  p a th   from  x0  to  y  passes  through 

x.  A  vertex  y  is  called  a  direct  descendant  of x  if y  >   x  and  x,  y  are  neighbors.  Note  th a t 

in  Г к  every  vertex  x  =   x 0  has  k  direct  descendants,  and  x0  has  k +   1  descendants.

Consider  a  special  class  of  GMs,  which  in  th e  work  [1]  are  called  M arkov  chains,  and 

in  the  work  [4]  -  splitting  GMs  (SGMs).

Let  h  :  x  M   h x  =   (h0,x, h 1,x, ..., hm,x)  G  R m+1  be  a  vector  function  of  x  G  V  \   {x0}. 

Consider  a  probability  distribution  ^ (n)  on  QVn:

^ n (an)  =   Z - 1 e x p ( - в Н (an)  +   £

  hCT(x),x), 

(3)

xGWn

where  a n  G  QVn  and

Zn  =   ^ 2   e x p ( - в Н  (an)  +   ^ 2   ha(x),x).

ffn£Hyn 

xGWn

A  probability  distribution  ^ (n)  is  said  to   be  com patible  if  for  any  n  >   1  and  a n-1  G 

QVn-1,  we  have

£

  ^ (n) (an-1  U 

ш

„)  =   ^ (n-1)(an-1), 

(4)

WnG^Wn

where  a n-1  U wn  G  QVn.

In  this  case,  there  is  a  unique  m easure  ^   on  Q  such  th a t

M W n   =   a n })  =   ^ (n)(an)

for all n  and a n  G  QVn.  Such a m easure is  called an SGM corresponding to th e H am iltonian 

H   and  to  th e  function  x  M   hx, x  =   x0.

The  following  statem en t  gives  a  condition  on  hx  guaranteeing  th a t  th e  distribution  of 

^ (n)(an)  is  com patible.

T h e r o e m   1.[5]  The  probability  distributions  ^ (n)(an ) ,n   =   1, 2,...  determined  by  the 

formula  (3)  are  compatible  iff f or   any  x  G  V \   {x0}  the following  equation  holds:

hx  =   £

  F ( h , m , 9 ) ,  

(5)

yGS(x)

369

---

где  В  =  eJe , в   =  T .  Here  h*x  =  (ho,x  -   hm,x, hi,x  -   hm,x,..., hm—i,x  -   hm,x)  and  F ( • , m , 

R m 

m

  R m  is  a  vector function,  i.e.

F  (h, m ,  В)  =  (F

0

( ( h , m , B ) , ..., Fm- i ( h , m , B ) ) ) ,  

h  =  (ho , h i ,  .. ., hm- i ) ,

such  that

лт- l  B^i— 

m - l

E ”="c1 B ^ e ^   + Bm

F i ( h , m, B )   =  l n ^ j  0  1------------------- , 

i  =  0 , . . . , m  -   1. 

(6)

A 

' 

E m=0i Вт— ehj  +  1  ' 

’ 

’ 

V

  ^

Let  G k  is  a  norm al  subgroup  of  G k.

D e fin itio n   1.  A  set  of vectors  h  =  { h x , x   E  G k}  is  called  G k-periodic,  if  h yx  =  hx  for 

any  x   E  G k ,  y   E  G k.  Gk-periodic  collection  of vectors  is  called  translation-invariant.

D e fin itio n   2.  A  m easure  ^   is  called  Gk  -periodic,  if it  correspond  to   a  G k-periodic  set 

of vectors  h .  Gk-periodic  Gibbs  m easures  are  called  translation-invariant.

In  num erous  studies  (see,  for  example,  [1],  [3-5]),  periodic  Gibbs  m easures  for  various 

models  of  statistical  mechanics  have  been  studied  on  the  Cayley  tree.  These  measures 

were  m ainly translation-invariant,  or  Gk )-periodic,  where  G k )  is  a  subgroup  of G k,  which 

consist  of th e  words  of even  length.

Let  k  =  2  and  Ф  =   { 0 ,1, 2},  i.e.  m   =  2.  Suppose  h 2,x  =  0.  For  translation-invariant

h о 

hi

Gibbs  measures  from  (5),  using  notations  e "

2

°  =   x,  e "

2

"  =   y,  we  get  th e  following  system  

of equations:

x2+dy2+e2

x  

e2x2+ey2 + i

y  =  Ox2 +y2 +e 

y 

O2x2+Oy2+i

(7)

Note  th a t  x   =  1  satisfies  th e  first  equation  of  (7)  for  any  B.  In  [6]  th e  following  is 

proved.

T h e o r e m   2.  For  th e  SOS  model  w ith  m   =  2  and  В  =  Bcr( «   0.1242)  on  th e  Cayley 

tree  of order  five,  there  are  at  least  two  non-periodic  Gibbs  measures.

R e m a r k   1.  It  was  proved  in  [3]  th a t  for  m   =  2  and  В  >  В'( ^   0.53)  on  the  Cayley  tree 

of order  five there exists  a unique translation-invariant  Gibbs  m easure;  if В  <  В',  there  is  a 

three translation-invariant  Gibbs m easure on a Cayley tree.  Note th a t th e described  Gibbs 

measures in Theorem  2 are not translation-invariant,  i.e.  different  from th e m easures found 

in  [3].

T h e o r e m   3:  For  th e  SOS  model  w ith  m   = 2   and  В  E  E( a, b) ,  there  are  at  least  two 

non-periodic  Gibbs  m easures  on  the  Cayley  tree  of  order  k  =  a + b +  2.

R e m a r k   2.  Note  th a t  the  set  E( a, b)  is  not  empty,  since  th e  case  a  =  1,b  = 2   is 

considered  in  Theorem   2.  Also  it  is  easy  to  cheek,  th a t  in  th e  cases  a  =  e,b  =  2e, We  E  N  

the  set  E  (a,b)  is  not  empty.  May  be  exist  another  (a,b)  E  {(a,b)  :  a  =  e,b = 2 e ,  We  E  N }, 

which  the  set  E( a, b)  is  not  empty.

R e f e r e n c e s

1.  K.  Preston,  Gibbs  states  on  countable  sets,  Mir,  M.,  1977

2.  Christof  Kulske,  Utkir  A.  Rozikov  R andom   Structures  and  A lgorithm s  DOI 

10.1002/rsa.  2017  640.

3.  A.  E.  Mazel,  Yu.  M.  Suhov,  J.  Statist.  Phys.,  64  (1991),  111-134.

4.  R.  Fernandez,  C ontour ensembles  and  th e  description of G ibbsian probability d istri­

butions  a t  low  tem perature,  h ttp ://w w w .u n iv -ro u en .fr//L M R S /P erso p ag e/F ern an d ez/ 

resucont.htm l,  1998.

370

---

5.  Rozikov  U.A.  Suhov  Y.M.  Gibbs  m easures  for  SOS  model  on  a  Cayley  tree. 

Inf.D im .A n.,Q uant.P rob.  and  R elated  Topics.  2006,  V9,  N3,  471-488.

6.  C.Kuelske,  U.A.Rozikov,  E xtrem ality of translation-invariant phases for s th ree-state 

SOS-model  on  the  binary  tree.  J.S tat.P h y s.  (2015)  160:659-680,  doi  10.1007/s10955-015- 

1279-9.

7.  Ya.  G.  Sinai,  T heory  of phase  transitions:  rigorous  results,  Science,  M.,  1980.

8.  U.A.  Rozikov,  Gibbs  Measures  on  Cayley  Trees  W orld  Scientific,  Singapore,  2013.