Односторонняя обратимость функциональных операторов со сдвигом р. Мардиев, Г. Хайдарова

Лемма 2: Если оператор А обратим справа(слева) в _{ } то

_{   }
Доказательство. Доказательство проведем для случая левой обратимости оператора А. (случай обратимости справа рассматривается аналогично). Предположим, что оператор А обратим слева и не выполняется условие _{ } Тогда существует такая точка _{ } что

Так как А обратим слева и выполнено условие (4), то, в силу свойства устойчивости односторонне обратимых операторов, найдётся такая окрестность _{ } точки _{ } и такие функции _{ } при _{ } при _{ } и _{ } при _{ } где _{ } открытая окрестность точки _{ } содержащая замыкание опресность _{ }при _{ } открытая окрестности точки _{ }содержащея замыкание окрестности _{ } причем оператор
_{ } обратим слева, наряду с оператором A.
_{ } уравнение

имеет ненулевое решение в пространстве _{ } Действительно, следующая функция

где _{ } произвольная непрерывная функция является решением уравнения (7).
Это противоречит левой обратимости _{ } Лемма доказано.
Если выполняется (3), то найдется такая функция _{ } что
_{ } всюду на Г и оператор _{ } можно представить в виде


Так как _{ } всюду на Г, то, оператор

является обратным оператором в _{ } к оператору стоящего в правой части равенства (8) второму множителю
Тогда из обратимости справа оператора _{ } вытекает обратимость справа оператора _{ }
Так как _{ } всюду на Г и _{ } для любой неподвижной точки сдвига _{ } то, как легко заметит, оператор _{ } обратим справа в _{ } и только тогда, когда обратим справа оператор
_{ } (см. [2]. Лемма 1)
Если выполняется условие _{ } то найдется такая функция _{ } что _{ } всюду на Г и оператор _{ } можно представить в виде

Легко видеть, что из (9) вытекает, что оператор _{ } обратим слева в _{ } тогда и только тогда, когда оператор _{ } обратим слева в _{ }

В итого получаем следующее утверждение