Oddiy differensial tenglamalarni ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechish

II.ASOSIY QISM.

1. 
   Ketma-ket yaqinlashish usuli haqida.
   

(1.1)

differensial tenglamaning

(1.2)

dastlabki shartni qanoatlantiradigan yechimini topish , ya’ni

Koshi masalasini yechish ning g’oya jihatidan eng soddasi Pikar -
ning ketma-ket yaqinlashish metodidir.
Metodning moxiyati quyidagidan iborat: Koshining (1.1) — (1.2)
masalasi ushbu

(1.3)

integral tenglamani yechish bilan teng kuchlidir. Aniqlik uchun x≥

deb olamiz (x≤ hol xam shunga o’xshash). (1.3) tenglikda u(x)
noma’lum funksiya o’rniga ixtiyoriy funksiyani, nolinchi yaqinlashishni, masalan, u(x) = ni qo’yib, integrallash natijasida birinchi yaqinlashishni xosil qilamiz:

Keyin (1.3) tenglikda noma’lum u funksiya o’rniga topilgan

funksiyani qo’ysak,

ikkinchi yaqinlashish xosil bo’ladi. Bu jarayonni davom ettirib, n-yaqinlashish uchun

(1.4)

formulaga ega bulamiz.

Faraz qilaylik, f(x,u) ushbu shartlarni qanoatlantirsin:
soxada har ikkala argumenti
bo’yicha uzluksiz funksiya, bu yerda a va b — qandaydir musbat
sonlar. Bundan

mavjudligi kelib chikddi.

2) f (x,u) funksiya D soxdda u ga nisbatan Lipshits shartini
qanoatlantirsin, ya’ni shunday L soni mavjud bulsinki, ixtiyoriy

va u ning ikkita ixtiyoriy

qiymatlari uchun

(1.5)

tengsizlik bajarilsin. U xolda { (x)} ketma-ketlik < x < + h,

bu yerda

(1.6)

oralikda tekis yaqinlashishi va limit funksiya

(1.7)

Yaqinlashish xatoligi

ni baxolash uchun (1.3)
tenglikni (1.4) tenglikdan ayiramiz, u xolda

Bu yerdan < x < + h uchun

ga ega bo’lamiz. (1.5) Lipshits shartiga kura

Xosil bo'ladi. Demak,

(1.8)

Bu yerda

Lagranj formulasidan foydalanib

tenglikni xosil qilamiz.

Bundan

Bo'lganligi uchun

tengsizlik kelib chiqadi. Endi (1.8) formuladan foydalanib,

quyidagilarga ega bulamiz:

Oxirgi formuladan

kesmada da ning 0 ga

tekis yaqinlashishi kelib chiqadi.

2.