Ochiq dars ishlanmasi

Yangi mavzuni tushuntirish:

Murakkab funksiya yoki funksiyaning funksiyasi tushunchasini qaraymiz. Agar y = f(u), u = φ(x) lar o'z argumentlarining differensiallanuvchi funksiyalari bo'lsa,

y = f(φ(x)) murakkab funksiya x bo'yicha hosilaga ega bo'lib, u formula yordamida topiladi. Bu holda u ni oraliq argument deyiladi. Demak, murakkab funksiyaning hosilasi funksiyaning oraliq argument bo'yicha olingan hosilasi bilan oraliq argumentdan erkli o'zgaruvchi bo'yicha olingan hosilaning ko'paytmasiga teng.

Darajali funksiyaning hosilasi (xⁿ)^/=nx^n-1 formula yordamida topiladi, bunda n — birdan katta ixtiyoriy natural son.

Misollar. Quyidagi funksiyalar hosilalarini toping: a) f(x)=x^-5; b)f(x)=3x⁷- .

Yechish. a) (x-⁵)' = -5x^-5-1 =-5x^-6;

b) (3x⁷- .)' = 3(x⁷)' - 5(x ^-3)' = 3 • 7x⁶ - 5 • (-3)x ^-4=21x⁶+15x^-4=21x⁶+

f (x) = a^x ( bunda, а > 0 , a ≠ 1 ) ko‘rsatkichli funksiya butun sonlar o‘qida aniqlangan va uning har bir nuqtasida hosilaga ega . Istalgan ko‘rsatkichli quydagi fo‘rmula bo‘yicha e asosli ko‘rsatkichli funksiya orqali ifodalash mumkin : a^x = e^xlna (1) chunki e^xlna = (e^lna)^x = a^x ; funksiya ushbu ajoyib xossaga ega ekanligi isbotlanadi : uning hosilasi yana ga teng , ya'ni

(e^x)^/ = e^x . (2) ya’ni (e^kx+b)^/ = k∙ e^kx+b (3) ekanligini ham isbotlash mumkin .

Masalan , (e^3x+1 )^/ = 3∙ e^3x+1 ; (e^-2x-4 )^/ = -2∙ e^-2x-4.

a^x (bunda a<0, ) funksiyaning hosilasini hisoblaylik. (1) va (3) formulalardan foydalanib, (a^x)^/ = (e^xlna)^/ = lna∙e^xlna = a^x ∙lna ekanligini topamiz. Shunday qilib ,(a^x)^/ = a^x ∙lna (4). Masalan , ( 3^x )^/= 3^x ∙ln3 ; ( 0,7^x )^/= 0,7^x ∙ln0,7.

Istalgan a>0, a 1 asosli log_ax logarifmik funksiyani ushbu o’tish formulasi yordamida e asosli logarifmik funksiya orqali ifodalash mumkin .

lnx funksiyaning hosilasi quydagi formula bilan ifodalanadi . x>0

Shuningdek, quydagi fo’rmila ham o’rinli : Masalan, .

log_ax (bunda a>0, ) funksiyaning hosilasini topaylik . (5)va (6) formilalaridan foydalanib, quyidagini topamiz:

Shunday qilib , .