Обзор по методам решения проблемы гидродинамической устойчивости Revive of methods for solving the problem of hydrodynamic stability

Keywords: hydrodynamic stability, Orr-Sommerfeld equation, eigenvalue problems, one eigenvalue, spectrum of eigenvalues, Chebyshev polynomials, basic equation, boundary conditions, continuity conditions, generalized eigenvalue problem, number of arithmetic operations, efficiency.

I.Введение

Исследование проблемы гидродинамической устойчивости связано с решением уравнений Навье- Стокса при больших числах Рейнольдса. Рассматриваемая проблема сводится к задаче на собственные значения для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с малым параметром при старшей производной. В этой связи требования, предъявляемые к аппроксимационным свойством численных методов, резко возрастают. Для плоскопараллельных вязких несжимаемых течений эта задача сводится к проблеме собственных значений для уравнения Орра-Зоммерфельда (О-З). Уравнение О-З содержит малый параметр (kRe)^-1 при старшей производной, поэтому возникают значительные трудности получения приближенных решений, близких к точным. Существующее методы численного моделирования проблемы гидродинамической устойчивости можно условно разбить на две группы: 1) методы предназначенные для определения только одного собственного значения; 2) методы предназначенные для определения спектра собственных значений. К методам первой группы можно отнести конечно-разностные методы, метод локальной коллокации, метод пошагового интегрирования, метод ортогонализации, метод исключения. Спектральный метод, спектрально-сеточный метод и метод предварительного интегрирования являются методами относящимся ко второй группы. Приведем сравнительный анализ вышеперечисленных методов.
Основной суть конечно-разностных методов [4] для решения проблемы гидродинамической устойчивости заключаются в аппроксимации производных, входящих в уравнения О-З конечными разностями, и решении полученной системы методами линейной алгебры. Также схемы, однако, требует достаточно мелкого шага разностной сетки. При kRe~ 10⁴, например, для получения результатов с тремя верными результатами, использована равномерная разностная сетка, содержащая 100 узлов. Для уменьшения числа расчетных узлов разностной схемы в работе [5] предлагается использовать разностную сетку с переменным шагом. Построение такой сетки зависит от нескольких параметров, выбор которых наталкиваются на определенные трудности. Результаты, приведенные в этой работе, показывают, число узлов сетки растет с увеличением значения параметра kRe. Методика построения неравномерной сетки для численного решения уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной изложена в [6,7]. По этой методике в работах [8,9] для определения собственного значения уравнения О-З строится неравномерная сетка с помощью специального отображения. Данное отображение строится таким образом, чтобы модуль градиента искомой функции оценивался величиной, не зависящей от параметра kRe. Выбор параметров этого отображения позволяет регулировать расстояние между узлами сетки в соответствии с размером переходной зоны пограничного слоя и критической точки.
В работах [10,11] для численного решения проблемы гидродинамической устойчивости предлагается метод локальной коллокации. Суть этого метода заключается в том, что область интегрирования разбивается на части, в каждой из которых с помощью метода коллокации вычисляется приближенное локальное решение. Решение во всей области находится решением системы линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей. Результаты показывают, что метод локальной коллокации эквивалентен конечно-разностному методу высокого порядка точности. Метод локализует и определяет наиболее опасное собственное значение.
Для решения проблемы уравнения О-З можно применить метод пошагового интегрирования. Суть данного метода заключается в сведение краевой задачи к задачам Коши и интегрировании последних с произвольным переменным шагом [12]. Проведенные численные расчеты показали, что если собственные значения сильно различаются по величине вещественной части, а это характерно для уравнения О-З, то в процессе решения из-за численных погрешностей в собственных значениях почти не остается ни одного верного знака.
Для преодоления этой трудности в работе [13] предлагается метод ортогонализации. Он заключается в разбиении интервала интегрирования на достаточно короткие участки, длина которых должна быть тем меньше, чем больше разница между величинами различных собственных значений. Затем на каждом участке два решения ортогонализируется и нормируется. Неудобством метода является то, что объем вычислений при этом резко возрастает.
В работах [14, 15] предлагается способ построения базисных решений с помощью метода исключения. Данный метод принципиально мало отличается от метода ортогонализации, но в методе исключения процедуры интегрирования и ортогонализации совмещены, что приводит к экономии арифметических вычислений.
Применение спектральных методов для численного моделирования уравнения Орра-Зоммерфельда изложено в работе [16], где в качестве базисных функций использованы полиномы Чебышева первого рода. Показано, что в этом случае сходимость по числу базисных функций экспоненциальная. Основным достоинством этих методов является то, что сразу можно найти все спектральные значения и среди них выбрать наиболее неустойчивое. Однако отыскание всех собственных значений заполненной матрицы высокого порядка очень трудоемкий процесс, связанный с большими затратами машинного времени. Кроме того, с ростом параметра kRe порядок матриц, необходимый для достаточно точного определения собственных значений, увеличивается, а это налагает дополнительное требование к памяти ЭВМ.
Спектрально-сеточный метод ССМ для численного решения уравнения (О-З) предложены в работах [17-19]. Обобщение ССМ является эффективным математическим аппаратом для численного моделирования уравнения (О-З). Он объединяет в себе высокую точность спектральных методов с экономичностью метода неравномерных сеток и позволяет определить сразу все собственные значения проблемы гидродинамической устойчивости. Проблема гидродинамической устойчивости для плоскопараллельных вязких течений описывается уравнением Орра – Зоммерфельда В ССМ область интегрирования разбивается на сетку, в каждом из элементов сетки приближенное решение ищется в виде рядов по полиномам Чебышева первого рода. Во внутренних узлах сетки налагается требования непрерывности решения уравнений устойчивости и их производных до третьего порядка. На границе интервала интегрирования требуется удовлетворения соответствующих краевых условий для математических моделей проблемы устойчивости. На каждом из элементов сетки требуется ортогональность основного дифференциального уравнения к полиномам Чебышева до номера , где количество полиномов используемых для аппроксимации решения на элементе сетки. Приближенное решение проблемы гидродинамической устойчивости во всей сеточной области определяется путем решения системы линейных алгебраических уравнений с разреженной блочно–диагональной матрицей.
В методе предварительного интегрирования (20) старшей производной уравнения устойчивости разлагается в ряд по полиномам Чебышева первого рода. Предварительно интегрируя данных ряд последовательно определяются выражения для всех младших производных и искомой функции. При каждом интегрирование появляются новые константы интегрирования , которые определяются из удовлетворения существующих краевых условий. Подставляя найденные выражения для производных и искомой функции в основное дифференциальное уравнение получается об обобщенная алгебраическая проблема на собственные значения. Решая которой находятся собственные значения проблемы гидродинамической устойчивости.

1. 
   Постановка задачи
   

Проблема гидродинамической устойчивости для плоско-параллельных вязких течений описывается уравнением орра-земмерфельда
(1)
с однородными краевыми условиями
(2)
которые означают требования непроницаемости и прилипания. В уравнении здесь cобственные значения, фазовая скорость, коэффициент нарастания, дифференциальный оператор, y- координата направленная поперек основного течения, k- волновое число, Re- число Рейнольдса, U(y)- профиль скорости основного течения, ψ(y)- амплитуда функции тока для возмущений.
Если то течение неустойчиво, если то оно устойчиво. Если же то колебания нейтрально устойчивы.
II. Теория
В спектральном методе приближенное решение задачи (1), (2) ищется в виде ряда по полиномами Чебышева первого рода:
(3)
Подставляя (3) и в уравнение (1) и требуем, чтобы левая часть уравнения (1) была ортогональной к первым -м полиномам Чебышева. В этом случае имеем алгебраическую систему [16]:




для (4)
где
и (4)
Граничные условия (2) приобретают вид
(5)
(6)
Перейдем к изложению алгоритма ССМ для численного моделирования задачи (1), (2). Для этого интервал интегрирования разобьем на сетку таким образом получим N различных элементов:

Дифференциальное уравнение (1) на каждом из этих элементов принимает вид
(7)
Краевые условия (2) записываются в точках и :
(8)
в точках разбиения потребуем непрерывность решения уравнения (7) и его производных до 3-го порядка. Эти условия имеют вид
(9)
где t- указывает порядок производной.
Решения уравнения (7-9) представим в виде ряда по полиномам Чебишева первого ряда. Для этого каждый элемент отображаем на интервале с помощью следующей замены независимой переменной:
(10)
Через обозначена длина j-го элемента. После этого преобразования уравнение (7) принимает вид
(11)
где

Из условий (8)- (9) имеем
(12)


Приближенное решение задачи (11)-(12) на каждом из элементов будем искать в виде

(13)

где полиномы Чебышева первого рода, их узлы, а количество полиномов, используемых для аппроксимации решения на j-м элементе сетки. Коэффициенты разложения для функции в (12) определяются следующим обратным преобразованием

при
Для удобства изложения ССМ уравнение (11) запишем в операторном виде, т.е.
(14)
где дифференциальный оператор, определяемый формулой

Подставляя ряды (12) в уравнение (13), потребуем, чтобы левая часть (13) на каждом из элементов сетки была ортогональной к первым -м полиномам Чебышева, т.е.
(15)
где скалярное произведение на отрезке
Кроме того, чтобы ряд по полиномам Чебышева (12) точно удовлетворял краевым условиям и условиям непрерывности (11). С учетом следующих свойств полиномов Чебышева и эти условия записываются в виде


(16)


Приведем окончательный вид алгебраической системы, полученный на основе (14-15):




(17)
где соответственно коэффициенты Чебышева функций и для при
Метод предварительного интегрирования
,
,
,
,
,
,
, ,
,
.
Приведем алгоритм метода предварительного интегрирования для решения проблемы (1) – (2). При выводе алгоритма используются следующие рекур рентные формулы для полиномов Чебышева первого рода
(17)

, (18)
Здесь если n>0 , если n>0.
Старшей производной в уравнения (1) представим в виде ряда
(19)
Предварительно интегрируя ряд (19) определяем производные низкого порядна и искомую функцию :
, (20)
, (21)
, (22)
, (23)
где константы , определяются по формулам :

здесь - кронекер символи и все ненулевые параметры (для всех ) вычисляются по формулам :

Константы интегрирования определяются из-за удовлечворения четырех граничных условий из этих условий имеем

, (24)
, (25)
, (26)
, (27)

Где
(28)

Продставляя найденные значения из (24) – (27) к уравнениям (20) – (23) , эти производные можно представить в виде
(29)
Где, например
(30)
и апалогично, определяются , .
Профиль скорости основного течения тоже представим в виде ряда по полиномам Чебышева первого рода
(31)
Разным соответствуют разные профили скорости .
В результате имеем матричную проблему на собственные значения

,
где
, (33)
которое записано на основе тождество
.
Проблема гидродинамической устойчивости с применением спектрального, спектрально-сеточного метода и метода предварительного интегрирования сводится к обобщенной алгебраической проблемы на собственные значения следующего вида
(18)
,
Где – , -комплексные матрицы порядка , - комплексный вектор длины , собственные значения проблемы , - комплексная матрица порядка , собственные векторы. Если через обозначить общее количество полиномов используемых в этих методах, то в спектральном метода , в спектрально-сеточном методе , где , -число элементов сетки, - количество полиномов Чебышева, используемых для аппроксимации решения на элементе сетки, в методе предварительного интегрирования (МПИ) .
В спектральном методе матрица в будет вырожденной и содержит 4 нулевых строк, соответствующим краевым условиям, а соответствующая матрица в спектрально-сеточном методе содержит нулевых строк, соответствующих краевым условиям и условиям непрерывности, так как они не зависят от . строках матрицы соответствующим этим дополнительным условиям будут целые числа, получающиеся от значения полиномов Чебышева и их производных до третьего порядка в точках -1 или 1.
Проводится элементарные преобразования столбцов матриц и в системе (18)
(19)

V. Выводы

1. 
   Проведен анализ методов решения проблемы гидродинамической устойчивости, определены недостатки и преимущество этих методов.
   
2. 
   Выделены три метода предназначенные для определения спектра собственных значений проблемы устойчивости: спектральный метод (СМ), спектрально-сеточный метод (ССМ), метод предварительного интегрирования (МПИ).
   
3. 
   Выбранные методы сравнены по числу арифметических операций и показан высокая эффективность спектрально-сеточного метода
   

Список литературы

1. 
   Линь Ц.Ц. Теория гидродинамической устойчивости / М.: Иностр. лит., 1958. 195 с.
   
2. 
   Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971.350 с.
   
3. 
   Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. 640 с.
   
4. 
   Thomas H.H. The stability of plane Poiseuille flow // Phys.rev.1953. № 4(91). P.780-783.
   
5. 
   Бахвалов К.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Москва, 1969. № 4(9). С.841-859.
   
6. 
   Лисейкин В.Д., Яненко Н.Н. О равномерно сходящемся алгоритме численного решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной // Числен. Методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1981. № 2(12). С.45-56.
   
7. 
   Крылов А.А., Малыхина И.Д. Решение задачи о собственных значениях для уравнения Орра-Зоммерфельда разностным методом // Вычисл. методы и программирование. Москва, 1968. Вып.11. С.44-54.
   
8. 
   Жарилкасинов А., Лисейкин В.Д., Скобелев Б.Ю., Яненко Н.Н. Применение неравномерной сетки для численного решения задачи Орра-Зоммерфельда // Числен. методы механики сплошной среды. Новосибиркс,1983. №5(14). С.45-54.
   
9. 
   Жарилкасинов А., Скобелев Б.Ю., Яненко Н.Н. Эффективная неравномерная сетка для уравнения Орра-Зоммерфельда и спектр течения Пуазейля //Новосибирск, 1984. 35 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т теорет. и прикл. мех.; № 21.)
   
10. 
    Колобов Б.П., Слепцов А.Г. Устойчивость двухслойных течений жидкости // Изв. РАН. Сер. Механики жидкости и газа. Москва, 1974. № 5. С.155-157.
    
11. 
    Слепцов А.Г. Сходимость метода локальной коллокации // Числен. методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1977. № 7(8). С.141-154.
    
12. 
    Broun W. B. A stability criterion for there-dimensional laminar boundary layers // In: Boundary layer and flow control. London, 1961. vol.2. P.913-923.
    
13. 
    Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. Москва, 1961. № 3(16). С.171-174.
    
14. 
    Гольдштик М.А., Сапожников В.А. Устойчивость ламинарного потока в присутствии массовых сил //Изв. РАН. Сер. Механика жидкости и газа. Москва, 1968. № 5. С.42-46.
    
15. 
    Jankowski D.F., Takeuchi D.J., Gersting J.M. The Riccati transformation in the numerical solution off Orr-Sommerfeld problems // Trans. ASME. E. 1972. № 1(39). P.280-281.
    
16. 
    Orszag S.A. Accurate Solution of the Orr-Sommerfeld stability equation // J. fluid mech. 1971. № 4(50). P.689-701.
    
17. 
    Нармурадов Ч.Б. Решение уравнения Орра-Зоммерфельда спектрально-сеточным методом //Докл. АН РУз. Ташкент, 2001. № 10-11. С.9-12.
    
18. 
    Нармурадов Ч.Б., Подгаев А.Г. Сходимость спектрально- сеточного метода // Узбекский математический журнал. Ташкент, 2003. №2. С.64-71.
    
19. 
    Нармурадов Ч.Б. Об одном эффективном методе решения уравнения Орра-Зоммерфельда // Математическое моделирование. Москва, 2005. № 9(17). С.35-42.
    
20. 
    Zebib A. A. Chebyshev method for the Solution of boundary value problems // J. Comput. Phys. 1984. №3 (53). P. 443-455.
    
21. 
    Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1980. 426с.
    
22. 
    Воеводит В.В. Вычислительные основые линейной алгебры. М.:Наука, 1977. 304 с.
    
23. 
    Абуталиев Ф.Б., Нармурадов Ч.Б. Решение задачи гидродинамической устойчивости двухфазных потоков спектрально-сеточным методом // Вопросы кибернетики. 2002. №168.С.5-9.
    
24. 
    Абуталиев Ф.Б., Нармурадов Ч.Б. Спектрально-сеточная аппроксимация уравнений гидродинамической устойчивости для двухфазных потоков // Современные проблемы математической физики и информационных технологий. 2005. Т.2. С.102-104.
    
25. 
    Абуталиев Ф.Б., Нармурадов Ч.Б. Математическое моделирование проблемы гидродинамической устойчивости. Т.: Fan va texnologiya, 2011. 188 c.