«Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и механический смысл. Необходимое условие интегрируемости»

Необходимое условие интегрируемости

Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке.

Приведем пример нахождения определенного интеграла на основании определения.
Пример 1. Вычислить
Решение. Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки [х_i-1; х_i] разбиения имеют одинаковую длину Δх_i, равную 1/n, где n – число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков [х_i-1; х_i] разбиения точка ξ_i совпадает с правым концом этого отрезка, т.е.

ξ_i = х_i = ,

где i=1, 2, ..., n. (В силу интегрируемости функции у = х², выбор такого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек ξ₁, ξ₂, ..., ξ_п на отрезках разбиения не повлияет на искомый предел интегральной суммы). Тогда

Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна

Следовательно,

Анализ приведенного примера показывает, что успешное решение поставленной задачи оказалось возможным благодаря тому, что интегральную сумму удалось привести к виду, удобному для нахождения предела. Однако такая возможность существует далеко не всегда, поэтому долгое время задача интегрирования конкретных функций оставалась задачей чрезвычайно сложной. Установление связи между определенным и неопределенным интегралами позволило разработать эффективный метод вычисления определенного интеграла.

Список использованной литературы

1). Баврин И.И. Высшая математика. Учебник для педагогических институтов. Москва: Просвещение, 1993 год, 319 стр.

2). Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год, 271 стр.
3). Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. Москва: Высшая школа, 1972 год, 480 стр.