О математической модели со свободной границей загрязнения водных бассейнов Ж. О. Тахиров, А. Н элмуродов

Теорема 2.2. Пусть выполнены все предположения теорема 2.1 Пусть непрерывная в функция удовлетворяет условиям задачи (16). Предположим, что непрерывные функции , для , и произвольных удовлетворяют условиям

Тогда
(18)
Кроме того, если в области , то И если еще известно, что обладает в суммируемыми с квадратом обобщенными производными , , то
(19)
где .
Если , то оценки (18), (19) справедливы и в .
Доказательство. Внутренние оценки в области устанавливаются, как и в [5].
Так как все коэффициенты в задаче ограничены, то, используя результаты работы [5], получим оценку (19).
Задача (16) при помощи замены
сводится к однородному случаю. Тогда задачу (16) можно переписать в виде
(20)

и из задачи (19), в силу теоремы 2.1. находим Следовательно,
(21)
Из (21) следуют, что .
Теорема 2.3 доказана.
Теорема 2.3. Пусть коэффициенты уравнения
(22)
удовлетворяет условию Гeльдера

Пусть решение уравнения (22), , . Тогда
,
где зависит от
Если , то существует такое , что

Аналогичные результаты справедливы и для .


Единственность решения
Сначала получаем новое представление для свободной границы. Уравнение (1) перепишем в виде
(18)
где
Интегрируя уравнение (18)по области , находим

Мы получаем
(19)
Точно также уравнение (2) перепишем в виде


(20)
где
Интегрируя уравнение (20) по области , находим

Мы получаем
(21)
Точно также уравнение (3) перепишем в виде
(22)
где
Интегрируя уравнение (22) по области , находим

Мы получаем
(23)
Теперь умножив (19), (21) и (23) на , затем их сложив из условие Стефана (8) имеем

(24)
Воспользуемся представлениям для неизвестной границы (24).