97
m=2 kelib chiqadi. Demak berilgan vektorlar n=4, m=2 bo’lganda kollinear
bo’lar ekan.
4-misol
.
)
3
;
1
(
,
)
3
;
2
(
b
а
va
)
3
;
1
(
c
vektorlar berilgan bo’lsin.
ning
qanday qiymatida ushbu
b
a
p
va
c
a
q
2
vektorlar o’zaro
kollinear bo’ladi?
Yechish
. Avvalo
p
va
q
vektorlarni ortlar boyicha yozib topib olamiz.
j
i
j
i
j
i
b
a
p
)
3
3
(
)
2
(
3
3
2
j
i
j
i
j
i
c
a
q
9
0
6
2
3
2
2
.
Mos koordinatalarni tenglab,
;
0
2
9
3
3
tenglikdan.
2
ekanini
ko’ramiz.
8.3. Skalyar ko’paytma tushunchasiga olib keluvchi
ish haqidagi masala.
Amaliyotda vektor kattalikdagi miqdorlarning ko’paytmasi,sonlarni
ko’paytmasidan farqli ravishda ikki xil natijani beradi. Masalan,to’g’ri chiziqli
ko’chishda
F
kuchning
S
ko’chishdagi bajargan ishi skalyar miqdor bo’ladi.
Qo’zg’almas o’q atrofida
burchak tezlik bilan aylanma harakat qilayotgan
qattiq
jismning
r
radius vektorga ega bo’lgan ixtiyoriy nuqtasini tezligi vektor
kattalik bo’ladi. Shuning uchun ham matematikada vektorlarni skalyar
ko’paytmasi
va
vektorli
ko’paytmalari
alohida
qilib
kiritilgan.
Mexanikada
F
kuch ta‘sirida to’g’ri chiziqli harakatlanayotgan jismni
S
masofaga siljitishda kuching bajargan ishi
A
ni hisoblashga to’g’ri keladi.
Kuchning yo’nalishi
S
bilan bir xil, ya‘ni
0
)
(
S
F
bo’lganda kuchning
bajargan ishi shu kuchning moduli bilan o’tilgan yo’lning ko’paytmasiga teng,
ya‘ni
S
F
A
bo’ladi.
Agar jism
F
kuch bilan
burchak
tashkil etuvchi
S
yo’nalish boyicha
harakat qilsa unga faqat
F
kuchning
S
vektor yo’nalishidagi tashkil etuvchisi
cos
F
F
x
ta‘sirida harakatlanadi. Bunda
F
kuchning bu ko’chishda
x
F
ta’sir
etadi. Chunki bu holda
F
kuchning
S
ga perpendikulyar
tashkil etuvchisi bilan
qarshilik kuchi muvozanatlashadi. Vektorning vektorga proeksiyasiga binoan
cos
F
F
pr
F
s
x
Burchak ish
cos
cos
S
F
S
F
A
ko’rinishda topiladi.
10
-chizma.
98
Shunday qilib, umumiy holda, kuchning to’g’ri chiziqli ko’chishda
bajargan ishi
F
kuch va ko’chish
S
vektorlarni uzunliklari bilan shu vektorlar
orasidagi burchakni kosinusini ko’paytirmasiga teng bo’ladi.
8.4. Skalyar ko’paytma.
1-ta‘rif.
Ikkitа
a
va
b
vektorning
skalyar ko’paytmasi
deb, bu
vektorlar uzunliklarini ular orasidagi
burchak kosinusiga ko’paytmasiga teng
bo’lgan songa (skalyarga) aytiladi va u quyidagicha belgilanadi.
cos
b
a
b
a
(8.4)
a
pr
a
b
cos
,
b
pr
b
a
cos
bo’lgani uchun (8.4) formulani
a
pr
b
b
a
b
yoki
b
pr
a
b
a
a
(8.5)
ko’rinishida yozish mumkin. Bu formulalardan foydalanib vektorning boshqa
vektor yo’nalishiga proeksiyasini ham aniqlash mumkin. Masalan,
b
b
pr
a
a
pr
a
b
(8.6)
formula orqali
a
vektorning
b
vektor yo’nalishiga proeksiyasi topiladi. Agarda
b
vektor birlik vektor bo’lsa
1
b
bo’lib
b
a
a
pr
b
bo’ladi, ya‘ni vektorning
birlik vektori yo’nalishiga proeksiyasi ularning skalyar ko’paytmasiga teng
bo’lar ekan.
Skalyar ko’paytma tushunchasidan foydalanib to’g’ri chiziqli harakatda
F
kuchni jismni
S
masofaga siljitishda bajargan ishi
F
va
S
vektorlarni skalyar
ko’paytmasi, ya’ni
S
F
A
ko’rinishida yozish mumkin. Bu skalyar
ko’paytmani mexanikaga tadbiqini ifodalaydi.
8.5. Skalyar ko’paytmaning xossalari.
1.Skalyar ko’paytma o’rin almashtirish xossasiga ega ya’ni
а
b
=
b
а
Bu xossaning to’g’riligi skalyar ko’paytma ta’rifidan
bevosita kelib
chiqadi.
2. Skalyar ko’paytuvchini skalyar ko’paytma belgisidan chiqarish
mumkin, ya’ni
)
(
)
(
b
a
b
a
. Bu xossaning to’g’riligi (8.5) formuladan
hamda proeksiyaning xossasidan kelib chiqadi:
)
(
)
(
)
(
)
(
b
a
a
pr
b
a
pr
b
a
pr
b
b
a
b
b
b
3. Skalyar ko’paytma vektorlarni qo’shishiga nisbatan taqsimot
xossasiga ega, yani
c
a
b
a
c
b
a
)
(
Bu (8.5) formuladan hamda proeksiyaning xossasidan kelib chiqadi:
c
a
b
a
c
pr
a
b
pr
a
c
pr
b
pr
a
c
b
pr
a
c
b
a
a
a
a
a
a
)
(
)
(
)
(
99
4. Ikkita noldan farqli vektorning skalyar ko’paytmasi nol bo’lishi
uchun vektorlarni perpendukulyar bo’lishi zarur va yetarli
Isboti.
2
)
(
b
a
bo’lsin.
U holda
0
0
2
cos
b
a
b
a
b
a
kelib
chiqadi.
0
b
a
bo’lsa,
0
)
cos(
b
a
b
a
bo’lib undan
0
a
,
0
b
bo’lganligi
sababli
0
)
cos(
b
a
vа
2
)
(
b
a
ya’ni vektorlarning perpendikulyarligi kelib
chiqadi .
Bu xossaga ko’ra
0
i
k
k
i
j
k
k
j
i
j
j
i
(8.7)
bo’ladi. Dekart koordinata o’qlari birlik vektorlari
k
j
i
,
,
lar o’zaro 90
0
li
burchak tashkil etadi.
Endi vektorni o’zini-o’ziga skalyar ko’paytmasini topamiz:
2
1
0
cos
a
a
a
a
a
a
a
.
Vektorni o’zini-o’ziga skalyar ko’paytmasi vektorning
Do'stlaringiz bilan baham: 
