Nuqtaning ortogonal proeksiyalari. To‘g‘ri chiziqning ortogonal proeksiyalari. Tog’ri burchak proeksiyasi haqida teorema. Tekislikning epyrada berilishi

№ t/r	Mustaqil ish mavzulari
1	Nuqtaning ortogonal proeksiyalari. To‘g‘ri chiziqning ortogonal proeksiyalari. Tog’ri burchak proeksiyasi haqida teorema. Tekislik. Tekislikning epyrada berilishi.
2	Epyurni qayta tuzish usullari. Aylantirish usuli. Joylashtirish usuli.Tekis-parallel harakatlantirish usuli.Proeksiyalar tekisliklarini almashtirish usuli.
3	Sirtlar. Sirtlarlarni xususiy vaziyatdagi tekisliklar bilan kesishishi. Sirtlarning o‘zaro kesishishi. Yordamchi kesuvch tekislik usuli. Yordamchi sferalar usuli.

Reja:

1. 
   Nuqtaning ortogonal proeksiyalari. To‘g‘ri chiziqning ortogonal proeksiyalari. Tog’ri burchak proeksiyasi haqida teorema. Tekislik. Tekislikning epyrada berilishi.
   
2. 
   Epyurni qayta tuzish usullari. Aylantirish usuli. Joylashtirish usuli.Tekis-parallel harakatlantirish usuli.Proeksiyalar tekisliklarini almashtirish usuli.
   
3. 
   Sirtlar. Sirtlarlarni xususiy vaziyatdagi tekisliklar bilan kesishishi. Sirtlarning o‘zaro kesishishi. Yordamchi kesuvch tekislik usuli. Yordamchi sferalar usuli.
   

1Nuqta. Nuqtaning ortogonal proeksiyalari.

Fazoda hajmga va yuzaga ega bo’lmagan jism nuqtadir.
O'zaro perpendikulyar bo'lgan ikki tekislikka geometrik elementlarni perpendikulyar proeksiyalash ortogonal proeksiyalash usuli (Gaspar Monj usuli) deb ataladi. Ortogonal so'zi to'g'ri burchakli degan ma'noni bildiradi.

Fazoviy chizmadan epyur hosil qilish uchun H tekislikni [OX) proeksiyalar o'qi atrofida soat strelkasi yo'nalishida 90° ga aylantiramiz. Natijada gorizontal proeksiyalar tekisligi H va frontal proeksiyalar tekisligi V bitta tekislik bo'lib qoladilar. Bunday chizma Monj epyuri (tekis chizma) deyiladi.
O'zaro perpendikulyar frontal proeksiyalar tekisligi va gorizontal proeksiyalar tekisligi V va H fazoni to'rtta bo'lakka bo'ladi, uning 1/4 b'o'lagiga chorak deyiladi. Choraklarga tegishli A, B, C, D, nuqtalarning fazodagi holatlarini epyurini tahlil qilamiz. Agar A nuqta fazoning 1 - choragida yotgan bo'lsa, epyurda uning gorizontal proeksiyasi a [ox) proeksiyalar o'qining ostida, frontal proeksiyasi a' [ox) proeksiyalar o'qining yuqorisida yotadi.

To`gri chiziq eng oddiy geometrik figura xisoblanadi. Ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofaga to'g'ri chiziq deyiladi. Quyida AB, CD, EF to'g'ri chiziqlarini H tekislikka nisbatan uch hil vaziyati ko’rsatilgan. AB to'g'ri chiziq og’ma, CD to'g'ri chiziq perpendikulyar, EF to'g'ri chiziq parallel vaziyatda joylashgan.

To’g’ri chiziq kesmasining proyeksiyalari orqali uning haqiqiy o’lchamini aniqlash va proyeksiyalar tekisliklari bilan hosil qilgan burchaklarini aniqlash masalasi amaliyotda ko’p uchraydi.
AV to’g’ri chiziq kesmasi hamda uning P₁ va P₂ tekisliklardagi proyeksiyalari berilgan bo’lsin (6.1.-shakl). Kesmaning A nuqtasidan AE||A₁B₁ to’g’ri chiziq o’tkaziladi va to’g’ri burchakli AVE ni hosil qilinadi. Bunda VE=VV₁-AA₁, bu erda AA₁=EB₁ bo’lgani uchun BE=BB₁-EB₁=z bo’ladi.
To’g’ri burchakli AVE uchburchakning AV gipotenuzasi AE katet bilan  burchak hosil qiladi. Bu burchak AV kesmaning P₁ proyeksiyalar tekisligi bilan hosil qilgan burchagi bo’ladi.
To’g’ri chiziq kesmasining P₂ proyeksiyalar tekisligi bilan hosil qilgan  burchagini aniqlash uchun to’g’ri burchakli ABF uchburchakdan foydalanamiz. Bu uchburchakning BF kateti AB kesmaning frontal proyeksiyasi A₂B₂ ga, ikkinchi AF kateti esa A va V uchlarining P₂ tekislikdan uzoqliklarining ayirmasiga teng bo’ladi. Bunda AF=AA₂-BB₂, bo’lib, BB₂=FA₂ bo’lgani uchun AF=AA₂-FA₂=dy bo’ladi.
To’g’ri burchakli ABF ning AV gipotenuzasi BF katet bilan hosil qilgan  burchak AV kesmaning P₂ tekislik hosil qilgan burchagi bo’ladi.
CHizmada kesmaning berilgan proyeksiyalari orqali uning haqiqiy uzunligi va proyeksiyalar tekisliklari bilan hosil qilgan burchaklarini aniqlash uchun yuqoridagi fazoviy model asosida to’g’ri burchakli uchburchaklar yasaladi. SHuning uchun bu usulni to’g’ri burchakli uchburchak usuli deb yuritiladi.

6.1-shakl

Masalan, AV kesmaning A₁B₁ A₂B₂ va A₃V₃ proyeksiyalarga asosan uning (6.2-a, shakl) haqiqiy o’lchami va P₁ bilan hosil qilgan  burchagini aniqlash uchun to’g’ri burchakli A₁B₁B₀ uchburchak yasaladi. Bu uchburchakning bir kateti kesmaning gorizontal proyeksiyasiga, ikkinchi kateti esa kesmaning A va V uchlarining applikatalari ayirmasi z ga teng bo’ladi. Bu uchburchakning A₁B₀ gipotenuzasi AV kesmaning haqiqiy o’lchami, A₁V₀=AV bo’lib, B₁A₁B₀= bo’ladi.

Tekislik birinchi tartibli sirt hisoblanadi. Chunki u birinchi darajali algebraik tenglama bilan ifodalanadi. Fazodagi tekislik chizmada quyidagicha beriladi:
a) bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan uch nuqta bilan;
b) to‘g‘ri chiziq va bu chiziqda yotmagan bir nuqta bilan;
v) ikkita parallel to‘g‘ri chiziqlar bilan;
g) ikkita kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlar bilan;
d) geometrik figuralar bilan.
Berilgan tekislik proeksiya tekisliklaridan birortasiga paralel yoki perpendikulyar bulsa, bunday tekislik xususiy vaziyatdagi tekislik deyiladi. Proeksiya tekisliklardan birortasiga paralel bulgan tekislik satx tekisligi deyiladi. Tekislik gorizontal proeksiya tekisligiga paralel bulsa, gorizontal tekislik deyiladi (1-a shakl) Tekislik frontal proeksiya tekisligiga paralel bulsa, frontal tekislik deyiladi (1-b shakl) Tekislik profil proeksiya tekisligiga paralel bulsa, profil tekislik deyiladi (1- v shakl) Berilgan tekislik proeksiya tekisliklaridan birortasiga perpendikulyar bulsa proeksiyalovchi tekislik deyiladi.

2
Geometrik shaklning proyeksiyalaridagi holatlari uning fazoda proyeksiyalar tekisliklariga nisbatan joylashuviga bog‘liq. Umumiy vaziyatdagi geometrik shakllarning proyeksiyalari proyeksiyalar tekisliklariga qisqarib proyeksiyalash (1,a,b–rasm).

Agar geometrik shaklning proyeksiyasi originaliga teng bo‘lib proyeksiyalansa, bu shaklga oid metrik xarakteristikalarni tomonlarining haqiqiy o‘lshamlari, uchlaridagi burchaklarning qiymatlari va boshqa xarakteristikalarni aniqlash mumkin (1,v–rasm).
Demak, shunday xulosaga kelish mumkinki, agar geometrik shakl proyeksiyalar tekisliklariga nisbatan fazoda xususiy vaziyatda berilsa yoki umumiy vaziyatda berilgan geometrik shakl xususiy vaziyatga keltirilsa, bu bilan metrik va pozision masalalarni yechish mumkin. Shuning uchun ayrim hollarda umumiy vaziyatda berilgan geometrik shakllarning berilgan ikki proyeksiyasi asosida maqsadga muvofiq ravishda yangi xususiy vaziyatga keltirilgan proyeksiyalari tuziladi.


a) b) v)
1-rasm.

Geometrik shaklning berilgan ortogonal proyeksiyalari asosida yangi proyeksiyalarini yasash ortogonal proyeksiyalarni qayta tuzish deyiladi.

Umumiy vaziyatda berilgan geometrik shakllarni xususiy vaziyatga keltirish asosan ikki usulda bajariladi.

1. 
   Umumiy vaziyatda berilgan geometrik shaklni fazoda harakatlantirib, proyeksiyalar tekisligiga nisbatan xususiy vaziyatga keltirish tekis–parallel harakatlantirish usuli deyiladi.
   
2. 
   Aylantirish usuli. Bunda proyeksiyalar tekisliklari o‘z holatlarini o‘zgartirmaydi. Proyeksiyalanuvshi shakl ularga qulay holga kelguncha biror o‘q atrofida aylantiriladi.
   
3. 
   Geometrik shaklning fazoviy vaziyati o‘zgartirilmasdan proyeksiyalar tekisliklari sistemasini unga nisbatan xususiy vaziyatga kelguncha yangi proyeksiyalar tekisliklari bilan almashtirish - proyeksiyalar tekisliklarini almashtirish usuli deyiladi.
   

Quyida bu usullarni alohida ko‘rib shiqamiz.