Nuqta kinematikasi

Harakatdagi nuqtaning tezligi - uning fazodagi yoki tekislikdagi vaziyatini aniqlovchi radius-vektor r dan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosiladir.

Tezlik nuqta vaziyatining vaqt birligi ichida o’zgarishini xarakterlaydi

? = d ₌ ?. i + ?. -j + ?. k,

bunda tezlik vektorining qo’zg’almas dekart koordinatalar sistemasi o’qlaridagi proyeksiyalari:

_n dx dy dz



(5)

formulalardan aniqlanadi.

bo’ylab yo’naladi.
?,уx ? ⁼d⁼y; ? =-r=-
dt dt dt

Tezlik vektorining moduli va yo’nalishi quyidagicha topiladi:

cos a = -	?x	-; cos в = ■	?y	-; cos у = -	?z
	?		?		?

bu yerda a,fi,Y - tezlik vektori ? ning

(6)

X,y,Z
? = ? + ? + ?,

koordinata o’qlari musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchaklaridir.

Tezlik vektori doimo traektoriyaga urinma

Moddiy nuqta harakati tabiy usulda berilganda uning tezligi

-у ds _

^d==^,,т


d = ^d = s
dt
ga teng. Bu yerda т - yoy koordinatasi s ning o’sish tomoniga yo’nalgan birlik vektori (2-rasm), v_T - tezlik vektorining urinma yo’nalishiga proyeksiyasi bo’lib

formula bilan aniqlanadi. Agar d_T > 0 bo’lsa, moddiy nuqta s

koordinatasining qiymatlari o’sish tomoniga qarab harakatlanadi. Agar d_T < 0

bo’lsa, nuqta s yoy koordinatasining qiymatlari kamayadigan tomonga qarab harakatlanadi.

Harakatdagi moddiy nuqtaning tezlanishi d tezlik vektoridan vaqt bo’yicha olingan birinchi hosilasiga yoki r radius-vektordan vaqt bo’yicha ikkinchi tartibli hosilasiga teng.

Tezlanish tezlikning vaqt birligi ichidagi o’zgarishini xarakterlaydi va

_ dd d² r

^w = IT ⁼ Ip ^{= w} ' ^{+ w} •^{J + w} '^k

formula bilan hisoblanadi. o’qlaridagi proyeksiyalari

dv_x _ '

dt

^Wx

Tezlanish vektorining qo’zg’almas dekart koordinata

d² x
~dt2

= x;

^Wy

dVy
dt

d² y dt<sup>2

W</sup>z

^dv_z
dt

d² z dt²

= z.

(7)

Wx cos a/ = -rzt ;

w

kabi topiladi, ya’ni nuqta tezlanishining koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari tezlik vektori proyeksiyalarining vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosilalariga, yoki nuqtaning mos koordinatalaridan vaqt bo’yicha olingan ikkinchi tartibli hosilalariga teng.

Tezlanishning moduli va yo’nalishi

USLUBIY QO’LLANMA 1

USLUBIY QO’LLANMA 4

r = r (t) 6

r = x • i + y • j + z • k (3) 6

? = d ₌ ?. i + ?. -j + ?. k, 7

? = ? + ? + ?, 7

^d==^,,т 8

^w = IT ⁼ Ip ^{= w} ' ^{+ w} •^{J + w} '^k 8

w = W_T + W_n. 9

V² + v² + v² )- V£1Wl±V_l^+V^ я у z v 10

w_n -^w² - wT 10

4n ■ t² ■ sin² 11

cos(v,^A0x) = 3 = -sin ⁿt² l^vl 1³ ) 11

cos(v ,aoy )=' = -cosl П 2 11

+ — nt 12

О -I П >2 = 2П sin — t 12

cos — t² 12

2tdt = n- — - 2 = nt². 12

^{w w}

formulalar yordamida aniqlanadi. Bu yerda a1, Д, Y - tezlanish vektorining x,y,z koordinata o’qlari bilan hosil qilgan burchaklaridir.

Tezlanish vektori hamma vaqt trayektoriyaning botiqlik tomoniga qarab yo’nalgan.

Nuqta harakati tabiiy usulda berilganda tezlanish vektori urinma va narmal tezlanishlarning vektorli yig’indisiga teng (3-rasm), ya’ni

w = W_T + W_n.

Tezlanishning urinma yo’nalishiga proyeksiyasi

dv_T

^wt -~r~ ga teng va uning qiymati dt






(10)

(9)

dv dt

V² + v² + v² )- V£1Wl±V_l^+V^
я у z
v

formula bilan aniqlanadi. Urinma tezlanish tezlik vektorining vaqt birligi ichidagi miqdor jihatdan o’zgarishini harakterlaydi. Normal tezlanish

v^2
Hn = —
p

formula yordamida topiladi. Bu yerda p - trayektoriyaning egrilik radiusi.

Ko’pincha (10) formuladan trayektoriyaning egrilik radiusining qiymatini aniqlashda foydalaniladi

v

p=— .

^Hn

Normal va urinma tezlanishlar berilganda tezlanishning kattaligi va yo’nalishi quyidagicha topiladi

H - Vw² + w2 , cos(w, ^л т) - "'^: • cos(w, ^л n)- ^H^ •

HI H

Yuqoridagi (10) formula trayektoriyaning egrilik radiusi qiymatini aniqlash uchun ishlatilgan vaqtda normal tezlanishning qiymati

w_n -^w² - wT

formula bilan hisoblanadi.

Topshiriq: M nuqtaning berilgan harakat tenglamalari asosida,uning trayektoriya tenglamasi, vaqtning t -1₁ paytida traektoriyadagi vaziyati, tezligi, to’la tezlanishi, urinma va normal tezlanishlari, tegishli nuqtada trayektoriyaning egrilik radiusi topilsin. Natijalar shaklda tasvirlansin

3. 
   Topshiriqni bajarish tartibi
   

1. 
   Trayektoriya tenglamasini topish va uni dekart koordinatalari sistemasida qurish.
   
2. 
   Vaqtning istalgan payti uchun tezlik va tezlanish vektorining koordinat o’qlaridagi proyeksiyalari, kattaliklari va yo’naltiruvchi kosinuslarini topish.
   
3. 
   Nuqtaning boshlang’ich t=0 va berilgan vaqtdagi t -1₁, hamda to’xtash jaylaridagi vaziyatlarini trayektoriyada ko’rsatish. Harakatning va to’xtash joylari oraliqlarida nuqta harakatining yo’nalishlarini aniqlash, hamda nuqtaning trayektoriya bo’ylab harakat qonunini vaqtga bog’liq ravishda aniqlash.
   
4. 
   Tezlanishning trayektoriyaga urinma va normal yo’nalishlariga proyeksiyalarini topish hamda trayektoriyaning egrilik radiusini aniqlash.
   
5. 
   Vaqtning berilgan t = t₁ payti uchun tezlikning va tezlanishning kattaligi, ularning dekart koordinatalari sistemasi o’qlaridagi proyeksiyalari, urinma va normal tezlanishlar qiymatlari, egrilik radiusi qiymatini hisoblash.
   
6. 
   Yuqorida olingan natijalarni chizmada ko’rsatish.
   

4. 
   Topshiriqni bajarish namunasi
   

Berilgan:

x = 1 + 3 cos ^П t²; y = 3 + 3 sin -3 t², (11)

bunda t₁ = 1 sek; x, y - sm.

Yechish. 1. (11) harakat tenglamalari parametrik ko’rinishdagi trayektoriya tenglamasidir, bunda parametr - t. Trayektoriyaning dekart koordinatalaridagi tenglamasini topish uchun (11) dan t ni yo’qotish kifoya. Buning uchun ularni quyidagicha yozib olamiz

x -1 = 3cosⁿt²; y -3 = 3sinⁿt²,

3 3

bu yerdan ushbuni hosil qilishi qiyin emas:

^{(x -1)2} + (^{y - 3)2} = 3². (12)

Bu radiusi 3 sm va markazining koordinatalari (1;3) nuqtada bo’lgan aylana tenglamasadir (Rasm-4).

2. 
   Harakat tenglamalari (11) dan vaqt bo’yicha birinchi tartibli hosila olib, tezlikning dekart koordinatalari o’qlaridagi proyeksiyalarini topamiz.
   

(13)
^П
v_x =-2n-1 ■ sin—t ,

n ₂

v = -2nt ■ cos—t . ^y 3

Bular asosida v tezlikning moduli va yo’naltiruvchi kosinuslarini topamiz:





4n ■ t² ■ sin²

+ 4n²t² ■ cos²

= 2nt





cos(v,^A0x) = 3 = -sin ⁿt² l^vl 1³ )

cos(v ,aoy )=' = -cosl П 2

I^v| 1³

(14)







Nuqta tezlanishi vektori w ning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalarini topish uchun (13) tenglamalardan t vaqt bo’yicha birichi tartibli hosila olamiz:

2. 
   ₂ ( ~
   

+ — nt ■ cos — t

2. 
   13
   

w_x

■2n sinl ⁿt²

О П 2

■2n cos — t

2. 
   ,2 • (-.
   

+—nt ■ sin — t

2. 
   13
   

О -I П >2 = 2П sin — t

2 2

+ — nt

3

cos — t²

-12

+	г cos	f П 2 T — t^2	22 nt sin	f П 12 T	^2	1/2 = 2n	1 + — n^2t^4;
		13 )	3	13 )		v	9

tezlanish vektorining yo’naltiruvchi kosinuslari quydagicha topiladi:

(15)

, X w 1

cos(w, ^л0 x ) = j-x- = —

^w 1ДП7

V 9

П
sin — t²

13

cos(w ,ло у ) =

w

^y

1

I 4

1 +⁴n t⁴

9

cosl ⁿtt

13

-nt t sin I ⁿt t- 3 13 )

(15¹)

2. 
   Yuqorida keltirilganlarga ko’ra v tezlik vektorining traektoriyaga
   

_ ds

o’tkazilgan urinmadagi proyeksiyasi v = ~j~ ga teng, bu erda s=s(t) - yoy dt

koordinatasining o’zgarishi, ya’ni nuqtaning trayektoriya bo’ylab harakat qonuni. Nuqta harakati koordinat usulda berilganda s(t) noma’lum bo’lganligidan uni aniqlash zaruriyati kelib chiqadi. T vektori doimo s yoy koordinatasining o’sish tomoniga qarab yo’nalganligi uchun v_T va v o’zaro quyidagicha bog’langan



^VT = i

(16)
v, agar ds > 0,

- v, agar ds < 0.

Bu yerda ds > 0 ayni vaqtda harakatning musbat yo’nalishda (soat strelkasi harakatiga qarshi) bo’layotganligini, ds < 0 esa ayni vaqtda harakatning manfiy yo’nalishda (saot strelkasi harakati bo’yicha) bo’layotganligini ko’rsatadi.

Nuqta trayektoriya bo’ylab to’xtab - to’xtab harakat qilishi mumkin, lekin harakat yo’nalishi birinchi to’xtaguncha va to’xtashlar oraliqlarida o’zgarmaydi. To’xtashdan keyin nuqta o’z harakatini ilgarigi yo’nalishda davom ettiradi yoki teskari yo’nalishga o’zgartiradi. Shuning uchun ham nuqtaning to’xtaydigan paytlarini va joylarini aniqlash zarur. Bu esa nuqta to’xtalganida uning tezligi nolga teng bo’lishi shartidan topiladi, ya’ni v = nt = 0, bundan t₁ = 0. Demak, nuqta tinch holatdan harakatga keladi va tezligini musbat yo’nalishda vaqtga proporsional ravishda oshirib boradi. Bu yerdan esa vaqtning ixtiyoriy qiymatida v_T = v = 2n t ekanligi kelib chiqadi. Bu tenglikni vaqt bo’yicha noldan t gacha

integrallasak nuqtaning trayektoriya bo’ylab harakat qonuni kelib chiqadi, ya’ni




^s(t) = J ^vT^dt = ^П

0 0

2tdt = n- — - 2 = nt².

2

2. 
   Yuqorida keltirilgan formulaga asosan nuqta tezlanishining trayektoriyaga
   

dv_T
o’tkazilgan urinmadagi proyeksiyasi ^w =~d~ = ²ⁿ ga teng.

dt

=^-2^n	( г \ л/ 3 П
	ьо|- + UJ | 4

-12,01sm / s²;

	П	2	П		(^1 n >|
2n	cos	—П	sin—	= 2n
	_ 3	3	3 J		L 2 V3 )

^Wy ⁽¹⁾ =


-8,26 sm / s²;


w(1) = 2n 1+-n² = 14,57 sm / s²;

' N 9

w_T(1) = 2n = 3,14 • 2sm/s² = 6,28 sm/s²;


w (1) = —n² = 14,57 sm / s²;

3

p = 3 sm .

6. Tezlik va tezlanish hamda ularning dekart va tabiiy koordinatalar sistemalaridagi proyeksiyalari 4-rasmda keltirilgan.

2. 
   Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
   

Topshiriqni bajarish paytida bajarish tartibiga amal qilish tavsiya etiladi.

№	x, sm	y, sm	t, sek	№	x, sm	y, sm	t, sek
1.	A sin 2 nt	B cos 2nt	1	16	At	Bt - 3t^2	1
2	л ■ 2n A sin — t 3	n 2n B cos — t 3	1	17	- A cos^2 — t + 2 3	. n B sin — t 3	1
3	A + cos 2nt	B sin 2nt	1	18	, • n , A sin — t 2	B cos^2 — t + 2 2	1
4	A cos2nt^2	B sin 2nt^2	1	19	4t - At^2	Bt	1
5	A sin nt	B + 5cos nt	1	20	П A cos — t + 2 6	- B sin^2-t - 7 6	1
6	, • n A sin — t 2	_ n B cos — t 2	1	21	4t^2 + A	3 + Bt	1
7	At - 3	Bt^2 +1 + 3	1	22	. nt ^Atg T	2nt B cos 3	1
8	Ae^t	Be'^1	1	23	П 2 + A sin—t 3	n B cos — t 3	1
9	. (л I „ A cosl — t 1 + 2 13 )	■ (лj „ sinl — t 1 - B 16 )	1	24	At	n B cos — t 3	1
10	2 - At	3 - Bt - 3t^2	1	25	- 2 A sin — t 6	n 6B cos—t 6	1
11	A sin^2 — t - 5 6	П - B cos — t 6	1	26	(n j ^Atg14 ^t)	5 - 4Bcosl-t I 12 )	1

12	At + 4	B ^- t +1	1	27	(n ^ 2A sinl — t | 13 )	(n J 5B cosl — t | 13 )	1
13	„ n 2 5cos — t 3	П 2 - B sin — t^2 3	1	28	_ . n _ 8 A cos — t + 2 6	- 8B sin^2-t - 7 6	1
14	( П ^ A cosl — t | + 2 13 )	(п^ B cosl — t | 16 )	1	29	П — 2 + A sin — t 6	n 6 - B cos —t 6	1
15	„ ■ П A sin — t 6	П B cos — t 3	1	30	3A cos t + B cos3t	3 cos t	1

Sinov savollari

1. 
   Qanday koordinat sistemalarini bilamiz?
   
2. 
   Nuqta harakatining berilish usullari.
   
3. 
   Nuqta trayektoriyasi.
   
4. 
   Nuqta tezligini dekart koordinatalar sistemasida aniqlash. Tezlikning proyeksiyalari, moduli va yo’nalishi.
   
5. 
   Nuqta tezligini qutb koordinatalari sistemasida aniqlash. Tezlikning radial va transversal tuzuvchilari.
   
6. 
   Trayektoriya bo’ylab harakat qonunini topish.
   
7. 
   Nuqta harakati tabiiy usulda berilganda uning tezligini aniqlash.
   
8. 
   Nuqta tezlanishini dekart koordinatalar sistemasida aniqlash. Tezlanishning proyeksiyalari, moduli va yo’nalishi.
   
9. 
   Nuqta tezlanishini qutb koordinatalari sistemasida aniqlash. Tezlanishning radial va transversal tuzuvchilari. Qutb usulida tezlanish yo’nalishini aniqlash.
   
10. 
    Nuqta harakati tabiiy usulda berilganda uning tezlanishini aniqlash. Tezlanishning normal va urunma tuzuvchilari.
    
11. 
    Trayektoriyaning egrilik radiusini topish.
    

Adabiyotlar

1. 
   Aziz-Qoriyev S.Q., Yangurazov Sh.X. Nazariy mexanikadan masalalar yechish metodikasi. I-qism. - T.: «O’qituvchi», 1974.
   
2. 
   Meshcherskiy I.V. Nazariy mexanikadan masalalar to’plami. - T.: O’qituvchi, 1989.
   
3. 
   Rashidov T., Shoziyotov Sh., Mo’minov Q.B. Nazariy mexanika asoslari. - T.: «O’qituvchi», 1990.
   
4. 
   O’rozboyev M.T. Nazariy mexanika asosiy kursi, - T.: «O’qituvchi», 1966.
   
5. 
   Yablonskiy A.A.Sbornik zadaniy dlya kursovix rabot po teoreticheskoy mexanike. M.: Visshaya shkola, 1972.
   
6. 
   Targ S.M. Kratkiy Kurs teoreticheskoy mexaniki. - M.: «Nauka», 1974.
   

(mustaqil ish jildini rasmiylashtirish namunasi)

SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI

Mexanika-matematika fakulteti

Mexanika kafedrasi

NAZARIY MEXANIKA

fanidan

MUSTAQIL IShI

Mavzu: Nuqta kinematikasi

Bajardi 203-guruh talabasi:

Davirova Xurriyat Variant №

Ma’ruza o’qituvchisi: dots. Yalg’ashev B.F.

Amaliyot o ’ qituvchi si: ass. Nishonov O’.A. Mustaqil ish olingan sana

Mustaqil ish topshirilgan sana

Samarqand - 2012

Samarqand - 2012