Normatov matematikatarixi

СС₁ АВ

СС АВ

8. 
   rasm
   

А С В

1 11

Endifarazqilaylikbutengburchaklarquyidagichabo’lsin:

1. 
   o’tmasbo’lsin–butezdaqarama-qarshilikkaolibkeldi;
   
2. 
   to’g’ribo’lsin–Evklidaksiomasibo’ladi;
   
3. 
   o’`tkir bo’lsin – bunga Sakkeri fikricha qarama-qarshilik bo’lib, parallellik aksiomasi isbot bo’lar edi. Lekin mantiqiy davom ettirish qiziq natijalariga olib bor- moqda, qarama-qarshilik esa yo’q edi.
   

Bunga o’xshash urinishlarjuda ko’p bo’lgan. 1763 yili Klyugelь bunday urinish- larni jamlab tahlil qiladi va Evklid bu aksiomani juda to’g’ri joyiga qo’ygan deb xulo- sa qiladi.

Bu sohadagi so’nggi ishlardan biri 1776 yili Lambert e’lon qilgan maqoladir: “Parallel chiziqlar nazariyasi”. U Sakkeri - Klyugelь ishlaridan foydalanib, to’rtburchakni modifikatsiya qiladi, ya’ni

АА₁

АВ,

ВВ₁

АВ,

А₁В<sub>1

АА1</sub>vamasalaniV₁burchakningkattaligini aniqlashgaolib

boradi.
75

U hamto’g’riburchakda–Evklid geometriyasiga,o’tmasburchakda–qarama qarshilikka uchraydi.

Bu kabi ko’plab ishlar natijasida “Boshlang’ichlar” o’quv darsligi sifatida ya- roqliligi shubha ostiga olindi. Natijada Angliyada, o’ermaniyada engillashtirilgan bayoni berildi. Frantsiyada esa Dalamber, Bezu, Lejandr, Lakrualar tomonidan boshlang’ich va o’rta maktablar uchun maxsus darsliklar yozdilar. Bu darsliklar u yo- ki bu darajada Evklid sxemasidan tashqariga chiqdilar. Aynan shu darsliklar bizning hozirgi tipdagi geometriya darsliklarimizning namunalaridir:

1. 
   o’lchovvaharakatkiritildi(Evkliddayo’q);
   
2. 
   arifmetikametodlarikiritildi,nisbatvaproportsiyalarga arifmetik mazmun kiritildi natijada 5-kitobga zarurat qolmadi;
   
3. 
   algebraikbelgilarvaalgebraelementlariningkiritilishinatijasida2-kitobga zarurat qolmadi;
   
4. 
   radikallarniqo’llanilishinatijasida10-kitobgazaruratqolmadi.
   

Natijada Evklidning "Boshlang’ich"lari keng o’quvchilar ommasi uchun tushu- narli va amaliy ehtiyojlar uchun qulay bo’lgan elementar geometriya kursiga aylan- di.

Tekshirishsavollari:

1. 
   XVIII asr matematikasini rivojlanishida FA va davriy nashrlarning roli qan- day?.
   
2. 
   RossiyadamatematikanirivojlanishidaEylerningroliqanday?.
   
3. 
   Matematikani boshqa sohalarini vujudga kelishida kimlar boshlovchilik qi- lishgan?
   
4. 
   Funktsiyatushunchasiqandayshakllanganvarivojlangan?
   
5. 
   XVIIIasrmatematikasiningasosiyxarakterliyo’nalishlariqanday?
   

4-§.Noevklidgeometriya

Reja:

1. 
   XIXasrgachabo’lgangeometriyaningxolati.
   
2. 
   Noevklidgeometriyaningkashfetilishi.
   
3. 
   o’eomertiksistemalarniinterpritatsiyalashmuammolari.
   
4. 
   o’emetriyani(matematikani)aksiomatikkurashmuammolari.
   

17. 
    asr boshiga kelib geometriya fani etarlicha rivojlangan mustaqil bo’limlariga ega bo’lgan fan sifatida shakllanadi. Analitik gemetriyaning o’.Darbu tomonidan, differentsial geometriyani o’auss tomonidan, proektiv geometriyani J. Ponsele, Shteyner, Shalь, Shtaudt, Myobida, Shtudi, Kartanlar tomonidan,so’ngroq esa Lobachevskiy geometriyasi va bundan keyin A. Kelli va F. Kleyn tomo- nidan rivojlantirildi.
    

Ayniqsa, Lobachevskiy geometriyasining ta’siri umuman geometriyani sifat jixatdan yangi mazmunga olib chiqdi va hozirgi zamon formasiga keltiradi.

76

Noevklid geometriyaning asoschisi Nikolay Ivanovich Lobachevskiy (1792- 1856) Nijniy Novgord shaxrida amaldor oilasida tug’ildi. 1811 yili ªozon universitete- ni tugatib, shu erda ishlay boshladi. 1816 yili professor bo’lib,1827-46yillardarektor bo’lib ishladi. Uning matematika sohasidagi serqirra ijodi quyidagi ilmiy ishlar bilan ifodalangan:

Algebra yoki cheklilarni qisoblash (Algebra ili vыcheslenie konechnыx) 1834, Trigonometrik satrlarni yo’qolishi haqida (Ob ischeznovanii trigonometricheskiy strok) 1834, Cheksiz qatorlarni yaqinlashishi haqida 1841, Ba’zi aniq integrallarini ahamiyati haqida (O znachenii nekotorыx opredelyonnыx integralov) 1852 va bosh- qalar.

LekinLobachevskiygashuxratkeltirgankashfiyotgeometriyasohasidir.

1826 yili 11 fevralda fizika-matematika bo’limining yig’ilishida “Sjatoe izlojenie osnov geometrii so strogim dokazatelstvom teoremы o parallelnыx” ma’ruza qildi.

Keyinchalik ishlarni rivojlantirib 1835 yili Tasavvurimizdagi geometriya, Ta- savvurimizdagi geometriyaning ba’zi integrallarga tadbiqi 1836, Parallellarningto’liq nazariyasi bilan geometriyaning yangi boshlanishi 1834-38, o’eometrik tekshi- rishlar 1840, Pangeometriya 1855 asarlarni yozdi.

Lobachevskiyning noevklid geometriyasining boshlanishi 5-postulatni quyi- dagi aksioma bilan almashtirishdan boshlanadi: berilgan to’g’ri chiziqda yotmagan nuqta orqali shu tekislikda yotib u bilan kesishmaydigan bittadan ortiq to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin. Natijada qarama-qarshilikbo’lmagan,mantiqan qat’iyvaketma- ketlikda bo’lgan xulosalar sistemasi, yangi, qozircha noqulay bo’lgan geometriyaga olib kelishini ko’radi.

Lobachevskiy geometriyasining absolyut qismi Evklid geometriyasi bilan deyarli bir xil. Parallelik aksiomasi ishlay boshlagandan boshlab ish o’zgaradi.

Jumladanquyidagiteoremalar:

1. 
   parallelto’`g’richiziqlarnijoylanishi;
   
2. 
   uchburchakvako’pburchaklarichkiburchaklariningyig’indisi;
   
3. 
   yuzalar;
   
4. 
   aylanagaichkivatashqichizilganko’pburchaklar;
   
5. 
   figuralarningo’xshashligivatengligi;
   
6. 
   trigonometriya;
   
7. 
   Pifagorteoremasi;
   
8. 
   doiravauningbo’laklarinio’lchash.
   

Bu teoremalarda Lobachevskiy geometriyasi Evklid planametriyasidan far- qlanadi. Shularning ba’zilari bilan tanishaylik. Lobachevskiy aksiomasidanshu narsa ma’lum bo’ladiki, berilgan nuqta orqali o’tuvchi to’g’ri chiziqlar cheksiz ko’p. Ular dasta tashkil etadi. Demak, dastaning chegaraviy to’g’ri chiziqlari mavjud: OV va OV₁. Mana shular O₁A ga parallel deb ataladi. Endi parallellikni yo’nalishini aniqlay- lik. Parallellik yo’nalishida to’g’ri chiziqlar bir-biriga yaqinlashadi aksincha esa uzoq- lashadi. Parallellik burchagi alьfa berilgan nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan OO₁masofaning kattali-
77

8. 
   rasm
   

gigabog’liq,ya’nix 0bo’lsa,uxolda
(x);tg
(x) 2