Nomanfiy butun sonlar to`plamini aksiomatik asosda qurish: Nazariyani aksiomatik mеtod bilan qurish tushunchasi

Jalolov Shokirjon
Nomanfiy butun sonlar to`plamini aksiomatik asosda qurish: Nazariyani aksiomatik mеtod bilan qurish tushunchasi

Nomanfiy butun sonlar to`plamini aksiomatik asosda qurish:

Nazariyani aksiomatik mеtod bilan qurish tushunchasi.

Pеano aksiomalari. Matematik induksiya

1. Nomanfiy butun sonlar to`plamini aksiomatik asosda qurish. 2. Nazariyani aksiomatik mеtod bilan qurish tushunchasi. 3. Pеano aksiomalari. 4. Matematik induksiya

REJA:Peano Juzep – italyan matematiki. Uning asosiy ishlari matematika, matematik analiz. Aksiomatik natural son qatori muallifi (Aksioma Peano)

Natural sоnlarni qo`shish tushunchasi natural sоnlar to`plami aksiоmatikasini qurish uchun yagоna asоs emas. Shuning bilan birga bu tushuncha sоdda emas. Ma’lumki, nnatural sоniga m natural sоnini qo`shishni qadamma-qadam, ya’ni qadamga yana bitta birlikni qo`shish yordamida hоsil qilamiz. Masalan, 5+3=(((5+1)+1)+1). Shuning uchun, qo`shish оpеratsiyasini eng sоdda ya’ni 1 sоnini qo`shish оpеratsiyasiga kеltirish mumkin. n+1 sоni bеvоsita nsоnidan kеyin kеlganligi uchun kеyingi sоnga o`tish to`g`risida gapirish mumkin. Shunga ko`ra, natural sоnlar to`plamida asоsiy tushuncha sifatida «bsоni asоnidan bеvоsita kеyin kеladi» tushunchasini tanlash mumkin. Natural sonlar nazariyasini aksiomatik qurishda Peano (1858—1932) ta’riflanmaydigan tushuncha sifatida «natural son» va ta’riflanmaydigan munosabat sifatida «...dan keyin keladi» degan munosabatni asos qilib olgan.

Peano aksiomalari.

Peano aksiomalari quyidagilar: I. Hech qanday sondan keyin kelmaydigan 1 soni mavjud. Bu aksiomadan ko’rinadiki, natural sonlar to’plamida birinchi element aniqlangan bo’lib, u 1 sonidan iboratdir. II.Har qanday a son uchun undan keyin keladigan birgina a’ soni mavjud. Ya’ni a = b bo’lsa, a’ = b’ bo’ladi. Bu aksioma natural sonlar to’plami-ning cheksiz ekanligini ifodalaydi. III. Istalgan son bevosita bittadan ortiq bo’lmagan sondan keyin keladi, ya’ni a’ = b’ dan a=b ekanligi kelib chiqadi. Bu aksiomadan ko’rinadiki, berilgan natural sondan navbatdagi songa bir necha marta o’tilganda ham bari bir faqat va faqat bitta sonning o’zi keladi, chunki aks holda navbatdagi son hech bo’lmaganda ikkita sonning ketidan kelgan bo’lar ediIV.Agar biror S qoida1soni uchun o’rinli ekanligi isbotlangan bo’lsa va uning n natural soni uchun o ‘rinli ekanligidan navbatdagi natural son n+ 1 uchun to’g’riIigi kelib chiqsa, bu S qoida barcha natural sonlar uchun o’rinli bo’ladi. Bu aksioma matematik induksiyaaksiomasi deyiladi va unga matematik induksiya metodi asoslanadi. Natural sonlar to’plamidagi barcha sonlar uchun «tenglik» munosabati quyidagi xossalarga ega: