Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti zamonaviy uzluksiz ta

 
1-misol. 


 
3
5




x
f
x
x
f
funksional tenglama berilgan. 
 
10
f
ni qiymatini 
toping.

Dastlab x=0 holni qaraymiz. 


 
3
0
0
5
0




f
f
, 
 
3
5

f
. Endi x=5 holni 
qarasak 


 
18
3
3
5
3
5
5
5
5








f
f
. Javob: 
 
.
18
10

f
2-misol. Agar 
 
x
x
f
x
f








1
2
bo‘lsa, 
 
x
f
- funksiyani toping. 

Bu tenglamani yechish uchun 
x
x
1

almashtirish bajarilsa berilgan tenglama 
 
x
x
f
x
f
1
2
1








ko‘rinishni oladi. Hosil bo‘lgan tenglamani -2 ga ko‘paytirib berilgan 
tenglamaga qo‘shsak 
 
x
x
x
f


2
3
tenglikni hosil qilamiz. Bundan esa, 
 
3
3
2
x
x
x
f


ekanligini topamiz. Javob: 
 
3
3
2
x
x
x
f


.
3-misol. Agar 
 
2
1
2









x
x
xf
x
f
bo‘lsa, 
 
x
f
- funksiyani toping. 

---

 ЗАМОНАВИЙ УЗЛУКСИЗ ТАЪЛИМ СИФАТИНИ ОШИРИШ: ИННОВАЦИЯ ВА ИСТИҚБОЛЛАР
 
388 
ХАЛҚАРО МИҚЁСИДАГИ ИЛМИЙ-АМАЛИЙ КОНФЕРЕНЦИЯ МАТЕРИАЛЛАРИ 

Bu tenglamani yechish uchun 
1
2


x
x
x
ko‘rinishdagi almashtirish olsak, berilgan 
tenglama 
 
2
1
2
1
2










x
f
x
x
x
x
f
ko‘rinishni oladi. Hosil bo‘lgan tenglamani -x ga ko‘paytirib, 
berilgan tenglamaga qo‘shsak 
 
 
x
x
f
x
x
x
f
2
2
1
2
2




tenglikni hosil qilamiz, bundan esa 
 
1
2
4



x
x
f
funksiyani topamiz. Javob: 
 
1
2
4



x
x
f
.
4-misol. Ixtiyoriy 
R
y
x

,
larda aniqlangan 


   
xy
y
f
x
f
y
x
f
2




shartni 
qanoatlantiruvchi 
 
x
f
- funksiyalarni toping.

Berilgan tenglamada x=2y ko‘rinishdagi almashtirish olsak, 
 
2
4
2
y
y
f

tenglik hosil 
bo‘ladi. Bundan 
 
2
x
x
f

ekanligi kelib chiqadi. Javob: 
 
2
x
x
f

.
5-misol. 
 
x
f
funksiya ixtiyoriy x uchun aniqlangan va quyidagi xossalarga ega: 
 

  


 
1
1
)
3
6
6
)
2
2
1
)
1







x
f
x
f
x
f
x
f
f
bo‘lsa, 


2019
f
ning qiymatini toping. 

Masalaning 
2) 
va 
3) 
shartlaridan 
 

 

1
5
6
6






x
f
x
f
x
f
, ya’ni 

  
5
5



x
f
x
f
. Hosil bo‘lgan tengsizlik va 3) shartdan 
 

 

1
4
5
5






x
f
x
f
x
f
, 
ya’ni 

  
4
4



x
f
x
f
. Xuddi shu tartibni davom ettirsak, 

  
1
1



x
f
x
f
natijani olamiz. 
Bu va 3) shartdan 


 
1
1



x
f
x
f
funksional tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamanining 
yechimini 
 
b
ax
x
f


ko‘rinishda izlab, a=b=1 ekanini topamiz. Demak, 
 
1


x
x
f
bo‘lgani uchun 


2020
2019

f
bo‘ladi. Javob: 2020.
6-misol. 
1
,
0

x
soni uchun 
 
x
x
f
x
f









1
1
(1) munosabat o‘rinli bo‘ladigan barcha 
 
x
f
- funksiyani toping. 

Berilgan tenglamada 
x
x


1
1
almashtirish bajarilsa, berilgan (1) -tenglama 
x
x
f
x
f







 








1
1
1
1
1
1
(2) ko‘rinishga keladi. Endi yana (1)-tenglamada 
x
x
1
1


almashtirish 
olsak, 
 
x
x
f
x
f
1
1
1
1








 
(3) tenglama hosil bo‘ladi. Endi (1) va (2) ni hadma-had ayirib, (3) ni 
qo‘shsak, 
u 
holda 
 
x
x
x
x
f





1
1
1
1
2
tenglikni 
va 
bundan 
tenglamaning 
 











x
x
x
x
f
1
1
1
1
2
1
yechimini hosil qilamiz.
7-misol. Ushbu 

  
x
x
f
x
f
5
1
2
3



tenglikni qanoatlantiruvchi funksiyani toping.

Berilgan tenglamaning yechimini 
 
b
ax
x
f


ko‘rinishda izlaymiz. U holda berilgan 
tenglamadan 


b
x
a
b
a
ax





5
3
3
6
tenglikka kelamiz. Bu tenglik barcha x lar uchun 

---

 ЗАМОНАВИЙ УЗЛУКСИЗ ТАЪЛИМ СИФАТИНИ ОШИРИШ: ИННОВАЦИЯ ВА ИСТИҚБОЛЛАР
 
389 
ХАЛҚАРО МИҚЁСИДАГИ ИЛМИЙ-АМАЛИЙ КОНФЕРЕНЦИЯ МАТЕРИАЛЛАРИ 
b
3b
3a
,
5
6




a
a
bo‘lganda, ya’ni 
2
3
b
,
1



a
bo‘lgandagina bajariladi. Bundan 
berilgan tenglamaning yechimi 
 
2
3


x
x
f
ekanligi kelib chiqadi. Javob: 
 
2
3


x
x
f
.
8-misol(2016-yil viloyat olimpiadasi). Barcha R haqiqiy sonlar to‘plamida uzluksiz 
 
x
f
funksiya uchun 
 
 
x
f
x
x
f
2
2


funksional tenglamani yeching. 

2
x
x

ko‘rinishdagi almashtirish olamiz: 
 
x
f
x
x
f
2
2
2









 
4
2
2
1
x
x
f
x
f








. 
Oxirgi tenglikda x ni o‘rniga navbatma-navbat 
8
;
4
;
2
x
x
x
x

almashtirishlar olamiz: 
8
4
2
1
2
x
x
f
x
f














, 
16
8
2
1
4
x
x
f
x
f














, 
32
16
2
1
8
x
x
f
x
f














Topilgan ifodalarni 
 
x
f
uchun aniqlangan oxirgi tenglikka qo‘yamiz: 
 

















































































































x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
x
f
n
n
n
4
1
...
4
1
4
1
2
2
1
...
4
1
4
1
4
1
4
1
16
16
1
64
1
16
1
4
1
8
8
1
16
1
4
1
16
1
8
2
1
4
1
16
1
4
1
4
4
1
4
1
8
1
4
2
1
2
1
4
2
2
1
2
4
3
2
bu yerda n-ixtiyoriy natural son. Oxirgi qavs ichidagi yig‘indiga geometrik progressiya n ta hadi 
yig‘indisi formulasini qo‘llasak,
 
n
n
n
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
4
1
3
3
2
2
1
4
1
1
/
4
1
4
4
2
2
1















 
















. Oxirgi natijadan 


n
da 
limitga o‘tsak, 
 
 
3
0
3
3
0
0
x
x
x
f
x
f






ekani kelib chiqadi. 
 
x
x
f
3
1

natija berilgan 
funksiyani qanoatlantirishini osongina tekshirish mumkin. Javob: 
 
x
x
f
3
1

.
Foydalanilgan adabiyotlar: 
1. A.Abduhamedov, H.Nasimov, U.Nosirov, J.Husanov ” Algebra va matematik analiz asoslari” I-
qism, Toshkent: O‘qituvchi nashriyoti, 2008 yil.
2. Лопщиц А.М. Функциональные уравнения. Квант,1970 г. №1-2,30-35 с.
3. Андреев.А.А. и др. Функциональные уравнения. Самара: В мире науки,1999г.
4. Лихтарников Л.М.Элементарное введение в функциональные уравнения.- СПб: Лань, 
1977г.- С.160.