Несмищенная и смещённая оценки для решения задачи Коши для обобшенного уравнения неизотропной диффузии

Алгоритм:

1. 
   Моделируется изотропный вектор и - равномерно распределенная в случайная величина;
   
2. 
   ;
   
3. 
   Если , то принимается, иначе повторяется пункт 1).
   

Пусть - последователность независимых гамма распределенных случайных величин с параметром , - последователность независимых плотностью распределения .
Определим в цепь Маркова следующими рекуррентными соотношениями:
, , ,
, (2.8)
,
где , , соотношения (2.8) получены из формулы (2.6). Теперь формулу (2.5) мы можем записать в следующем виде
(2.9)
Определим последовательность случайных величин следующим равенством
(2.10)
где случайная точка шароида при фиксированных , имеющая в нем плотность распределения
, где
.
Взяв и применив формулу (2.9) для , из (2.8) получим

(2.11)
Пусть последовательность - алгебр порожденная случайными величинами последовательностью векторов и случайными точками , - решения задачи (2.1)-(2.2) соответствующие заданным .
Теорема 2.1. а) Последовательность образует мартингал. Из определения последовательности - алгебр .
б) Если и , то является квадратична интегрируемой.
Доказательство: Сперва докажем, что образует мартингал. Из определенния видно, что является – измеримой. Далее

Так как является – измеримой, то из свойств условного математического ожидания следует, что
.
А т.к - – измерима и не зависит от то
.
Далее и не зависит от и поэтому
, тогда имеем
.
Изпользуя формулы (2.9) и (2.11), получим
.
Отсюда следует, что образует мартингал относительно . Докажем, что . Достаточно показать, что

Разбивая на два слагаемых ,

,
покажем конечность .
Из (2.10) и условия получим, что и поэтому

Теорема доказана.
Теперь покажем один из способов оценки по одному случайному узлу величины
.
Лемма 2.2. Для функции справедливо соотношение
, где
(2.12)
.
Здесь - гамма распределенная случайная величина с параметром , - бетта распределенная случайная величина с параметром и - случайный единичный вектор.