Nazariy operatsiyalarini sozlang

12-savol

Ba'zan matematik statistika o'rnatilgan nazariyadan foydalanishni talab qiladi. De Morgan qonunlari turli xil to'plamdagi nazariya operatsiyalari o'rtasidagi o'zaro ta'sirni tasvirlaydigan ikkita bayondir. Qonunlar shundan iboratki, har qanday ikkita to'plam uchun A va B:

1. 
   (A ∩ B)^C = A^C U B^C.
   
2. 
   (A U B)^C = A^C ∩ B^C.
   

Ushbu bayonotlarning har biri nimani anglatishini tushuntirganimizdan so'ng, ularning har birini qo'llash misolini ko'rib chiqamiz.

Nazariy operatsiyalarini sozlang

De Morgan qonunlarida nima deyilganini tushunish uchun, nazariya operatsiyalarining ba'zi ta'riflarini esga olishimiz kerak. Xususan, ikkita komplektning birlashishi va kesishishi va to'plamning to'ldirilishi haqida bilishimiz kerak.

De Morgan qonunlari ittifoqning o'zaro ta'siri, kesishish va to'ldirishni o'z ichiga oladi. Eslatib o'tamiz:

• 
  To'plamlarning kesishishi A va B ikkalasi uchun umumiy bo'lgan barcha elementlardan iborat A va B. Kesishma bilan belgilanadi A ∩ B.
  
• 
  Setlarning birligi A va B ikkala elementdan iborat A yoki B, ikkala to'plamdagi elementlarni ham o'z ichiga oladi. Bu kesishma A U B bilan belgilanadi.
  
• 
  To'plamning to'ldiruvchisi A elementlari bo'lmagan barcha elementlardan iborat A. Ushbu qo'shimcha A tomonidan belgilanadi^C.
  

 

Endi biz ushbu elementar operatsiyalarni esga olsak, De Morgan qonunlari bayonini ko'ramiz. Har bir to'plam juftligi uchun A va B bizda ... bor:

1. 
   (A ∩ B)^C = A^C U B^C
   
2. 
   (A U B)^C = A^C ∩ B^C
   

Ushbu ikkita iborani Venn diagrammalaridan foydalanib tasvirlash mumkin. Quyida ko'rinib turganidek, biz misoldan foydalanish orqali namoyish etishimiz mumkin. Ushbu bayonotlar haqiqatligini namoyish qilish uchun biz ularni nazariya operatsiyalarining ta'riflaridan foydalanib isbotlashimiz kerak.

De Morgan qonunlariga misol

Masalan, 0 dan 5 gacha bo'lgan haqiqiy sonlar to'plamini ko'rib chiqing. Biz buni 0, 5 oralig'ida yozamiz. Ushbu to'plamda bizda bor. A = 1, 3 va B = 2, 4. Bundan tashqari, biz oddiy operatsiyalarni qo'llaganimizdan so'ng:

• 
  To'ldiruvchi A^C = 0, 1) U (3, 5)
  
• 
  To'ldiruvchi B^C = 0, 2) U (4, 5)
  
• 
  Uyushma A U B = 1, 4
  
• 
  Chorraha A ∩ B = 2, 3
  

Biz birlikni hisoblashdan boshlaymizA^C U B^C. 0, 1) U (3, 5 bilan 0, 2) U (4, 5 - 0, 2) U (3, 5.) birlashishini ko'ramiz. A ∩ B Bu 2, 3 ning yig'indisi 0, 2) U (3, 5.) ekanligini ko'ramiz. Shu tarzda biz A^C U B^C = (A ∩ B)^C.

Endi biz 0, 1) U (3, 5 bilan 0, 2) U (4, 5 - 0, 1) U (4, 5) kesishishini ko'ramiz, shuningdek, 1, 4 ning to'ldiruvchisi ham 0, 1) U (4, 5. Shu tarzda biz buni isbotladik) A^C ∩ B^C = (A U B)^C.

De Morgan qonunlarining nomlanishi

Mantiq tarixi davomida Aristotel va Oksam Uilyam kabi odamlar De Morgan qonunlariga o'xshash iboralar qilishgan.

De Morgan qonunlariga 1806-1871 yillarda yashagan Avgust De Morganning nomi berilgan. Garchi u ushbu qonunlarni kashf qilmagan bo'lsa ham, u birinchi bo'lib bu fikrlarni propozitsiya mantig'ida matematik formuladan foydalanib rasmiy ravishda kiritdi.