Nazariy fizika kursi

dt 
S m ^ c r R 4
ifodadan  yordam ida  vo d o ro d   atom ining  yashash  va q tin i  baholaym iz: 
r   ~   3R 3/4cr%.  Bu  yerda  г о  elektronning  klassik  radiusi,  R   atom ning 
boshlang‘ic,h  vaqtd agi  radiusi.
8.10 .  A £   =   7re4ej/ 3 u m 2c3c?3.
8.11 . 
A ylanm a  harakatni  o :zaro  perpendikulyar  b o ‘lgan  ikkita 
ossilyatorga  ekvivalent  deb  qarash  mumkin.  Zaryadning  aylanishi  x ( ) y  
tokisligida  va  aylana  m arkazi  koordinata  boshida  deb  hisoblasak:
H  =   --
-----j   ([гг, г] cos( k r   — u>t)  +   [n, j ]  sin( k r   —  cut)),  E  =   \Hn],
г   с*
ы  e R 2  / 
1
I   =   —
— y
~2
 
~   2  S^n2  / ’  П  ~   V^r '  r ^ uza^ s^ iiuqtusiga o'I kazil- 
gan  radius-vektor,  в  azim utal  burchak, 
i
  va  j   mos  ravishda  x  va  у

---

П  ,  
.  
2  
<7 
т л  
2 £ 1 
9 Г 
т-ч 
2 £ 2 
9.1. 
—  p 2  -
  ------— ------
. 
D i   =   ----- --------
3 ,  
D 2  =   ---- ;-------
3.
£1
  +  
£2
  r 
s
 1  +  £2  r J 
s\  +   z
-2
  г л
9.2.  й   = ----------- 5 ! ----------- « ,  
D (  = ----------- 2^
---------- « г
- 1oii  +  
+  £30:3  7’ 
c i a i   +  е 2а'2  +  £з&з  Г
9.3.  Chegaravi}'-  shartlarni  (o ‘tkazgich  sirtida  p   =   const  va  r  —>  00 
da  ip  —
  0  
qanoatlantiruvchi  potensial  ko‘rinishi  p   —  C / r
 
b o ‘lsin.  Bu
yerda  doim iy  С .  j )   D nd S
 
=   Anq shartdan  aniqlanadi:  С   —  2 q / ( e i  + e 2) 
.9
2q
 
1
Bu  yerdan  tp  = ------------.  potensialni  va
£1
  + e 2 r
qei 
qe2 
° i  
—  
7
;
-----
T?
-------;-------7 ) 
a 2  =
o ‘qlaridagi  birlik  vektorlar.
2irci2(Ei
  +   e2) ’ 
27ra2( e i + 5 2)
q(£i
  -   1) 
_ 
g(er2  —  1)
^ \e.rk
  —  
0
 
9
/ 
\ 
5
 
&2erk
  —
2na2{£\  +  
e
2) ’ 
2na2( ei
  +  e 2)
sirt  zaryadlarining  taqsim otini  topam iz:
9.4.  W   =   ~   [  £ E 2d,V  =   i   f  
e
E 2dr  =
Sir J 
2 J 
2£a
9.5.  Shar  energiyasini  quyidagicha  topam iz:
W
  =   —   [  e E 2d V   =   -   [  s E 2r 2dr  =
8n J
 
2 ./
O 
(  
a
 
oc 
^ 
0
4 
I
  1 
( T< d r + ! %
U
l - u   +   f
£ab  J 
J  r 2
  I 
2a
0
10.1.  M aydonni 
=   а/2тг  sirtiy  zichlik  bilan  zaryadlangan  ikki 
dielektrikni  chegaralovchi  ( x   =   0)  tekislik  hosil  qiladi.
10.2.
  M aydonni  ujs  =  
e/AnR2
 
sirtiy  zichlik  bilan  zaryadlangan 
R 
radiusli 
e/R
 
potensialga  ega  b o ‘lgan  o'tkazuvchi  sferik  sirt  hosil  qiladi.
2 y  
2 v  
Y 
/  1 
1
10.3. 
E
 
=   —^ r, 
r 
<  R: 
E  
=   —
r, 
r
 
>  
R; 
~
--------
e r r 2 
£2?'2 
2ttR  \ £2 
£1
10.4.
  JB =   0, 
/■  <   R ; 
R =   - 7- ^ - 5 r. 
r  >  
R.
e ( r ) r z
4 7
ТСГ  X
 
e
10.5.
  E  =   ——  —. 
10.6. 
E
 =  
0, 
r   <   R ; 
=  
r. 
r  >  
R.
e { x )   x 
Syr
 Jr
31R

---

10.7.  Е =   —
- г,  г  <  R: 
Е =  
г,  г  >  /?.
£ о/с3 
<г(г )г'3
1 0 -8 '
=
( ? ( i j   -   i
)
' r
=
л
= - £2^ г " - r   • = 11
1 0 -9 '  ^
u - . + ы д ’  c '  =   5 ( E i + 2
e2>a  
101°-  ^  = 
Ш
  10Л1-  ^  = Й  (> + S,
10.12.
  5-bob  25-  m asalaning  yechim iga  qarang.
e 
e 
e 
e
10.13.
  ip  — 
—
-------- 1
------------ , 
x  >   О,  у  >   0\ 
boshqa  hamma
r i 
r 2 
'/‘з 
r 4 
nuqtalarda  y?  =   0.  Bu  yerda  г г  mos  ravishda  A i ( a , a , 0 ) ,   ^ 2( 0,,—a, 0),
Л з ( —a,  —a , 0),  A i ( —a ,a ,0 )  nuqtalarga  o ‘tkazilgan  radius-vektorlar.
(i)  _  
ae  (   \
______1_
'2tt 
R%.
10.14. 
u s   =   — —
  ( 
^   ),  O x   o 'q ig a   perpen diku lyar  yarim
tekislikda; 
~  
O y
  ° 4Ф § а  perpen diku lyar  yarim
tekislikda.  Bu  yerda  /?г  ko‘rilayotgan  nuqtadan  mos  zaryadgacha  b o ‘l- 
gan  masofa.
10.15.
  Bu  m asalani  vechish  ucun  elektr  tasvirlash  m etodid an   foy- 
dalanam iz.  Zaryad  turgan  m uhitdagi  m aydonni  asosiy  zaryad  bir  qa- 
torda e! yordam chi zaryad hosil qiladi deb olam iz.  Bu yordam chi zaryad 
asosiy  zaryadning  ikkinchi  m uhitdagi  tasviri  b o ‘lib,  uni  O x   o ‘qining
e 
e!
x  =   —a
  nuqtaga  joylashtiram iz. 
U   holda  
  —  - —   —  ----- .  Ikkin-
£\Г 
£\Г'
chi  m uhitdagi  m aydonni  esa  asosiy  zarvad  tugan  nuqtadagi  e "   ikkin-
e "
chi  yordam chi  zaryad  hosil  qiladi  deb  olam iz,  y a ’ni  ip2  =   ------.  Bn
£ 2 1
yerdagi  nom a’lum  zaryadlar  chegara  nuqtalarda  f  \  =   tp2,  D \n  -   I h i  1
 
b o ‘lish  shartlaridan  aniqlaym iz.  Yu qoridagi  potensiallarni  slut  chi-gaia 
viy   shartlarga.  q o ;yib,  qu yidagi  ikkita  tenglam ani  olam iz:  (r.  -   <■')e2 
t£\,  e  +   e.'  —
  e".  Bu  yerdan
/ 
c 2 
C1 
it
 
2c&2
e  =   — -------e, 
e  = ----------•.
£\
  +  
£ 2
 
£1  +  
£2
Bularni  potesiallar  ifodalariga  q o !yib,  masalaning  yechim i  topiladi.
10.16.
  Zaryad  koordinata  boshida joylashgan  deb.  M aksvell  torig- 
lainalarini  yozam iz:
div 
D  —  eS(r),
 
rot 
E
 =   0.
OI П

---

Bu  tenglam alarni yechish  uchun  birinchi  navbatda dielektrik singdiruv- 
chanlik  tcnzori  asosiy  o ‘qlarga  keltirilgan  deb,  (9.44)  b o g ‘lanish  tengla- 
masini  yozam iz:
dip 
dip 
dip 
=  
£
x
- E
x
  =  
у
  ~   e y E y
  =  
~  
—   ~ £
z
~
q
^ '
Bularni  M aksvell tenglam alariga q o'yib ,  potensial uchun qu yidagi ten g­
lam ani  hosil  qilam iz:
d 2ip 
d 2ip 
d 2
 
+  £> a ?   +  
a ?  
“
О ‘zgaruvchilarni  almashtiramiz:
, 
x  
у 
, 
z
®   =  
—p = ,  У  =   —= ,  
z  ~
Г—
 ’  о 
,
---4  ** 
/---
y j £ - x  
у
/ Щ ) 
y j £ z
Y a n gi  o !zgaruvchilarda  potensial  uchun  tenglaina  quyidagi  ko‘rinishga 
o ‘ tadi:
d 2V   ,
 
=  
4тге 
.
d x ' 2 
d y ' 2 
d z ' 2 
yJexeyEz
Bu  dielektrik  singdiruvchanligi  e  =   yjExEyEz  b o ‘lgan  izotrop  m uhitda 
nu qtaviy  zaryadning  potensialini  aniqlovchi  Puasson  tenglam asining 
o'zid ir.  Shunday  qilib,  anizotrop  m uhitdagi  elektrostatika  masalasini 
izotrop   m uhitdagi  masalaga  keltirdik.
1 0 .1 7. 
K oord in a ta   boshini  sferaning  markazida,  qutb  o ‘qini  esa 
sfera m arkazi bilan zaryad turgan nuqtani tutashtiruvchi t o ‘g ‘ri chiziqda 
tanlab  olam iz.  Potensial  uchun
Aip  =   —4 n S ( r —  d
)
Puasson  tenglam asining  cheksizda  nolga  intiluvchi  yechim ini  L ejandr 
polinom lari  P n ( cosO)   bo'yich a   qator  ko‘rinishida  qidiram iz:
oo
^ r ’ 0)  =   ^
  +   E ^ T T F - ( co s0 )-
B irinchi  hadni  ham  Lejan d r  polinom lari  b o :yicha  qatorga  yoyam iz:
1 
00 
r n
E ;
n = 0
j T T d i   =  
( r < d ) .
 
( * )
I 
I 
Г)—П
QOH

---

30 
/  P n 
A 
\
E   ( ^
 +  
)
p
» ( « » * )  =  
o
.
bcjandr  polinom lari  ortogonalligidan  bu  tcnglik  o ‘rinli  b o ‘lishi  uchun 
polinom lar  old idagi  koeffitsientlar  n olga  teng  b o iis h i  kerak.  Bundan
R 2n+1
n   ~
e 
c R   ^
  (  R 2\ n  P n (  cos в)
I
t
J  " 7 ^ -
Bu  yerdagi  ikkinchi  hadni  ( * )   bilan  taqqoslab,  uni  d\  =   R 2/ d   nuq- 
tada joylashgan e!  =   —e R / d  nuqtaviy zaryadning potcnsiali ko‘rinishida 
yozish  mumkin:
Bu  tasvirlash  m etodi  bilan  olingan  (10.49)  natija  bilan  mos  tushadi.
11 .1 . 
O z
  o ‘qiga  parallel  I  uzunlikdagi  o ‘tkazgich  uchun  quyidagi 
munosabat  o ‘rinli:
I’otensialni  sfera sirtida 
( r   =  
R ) 
nolga  tenglashtiramiz:
bunda  p i 2  =   \Jz2  +  r l:22;  r i  va  r 2  -   qaralayotgan  nuqtadan  birinchi  va 
ikkinchi  o ‘tkazgichgacha  b o ‘lgan  m asofalar.  Intagralni  hisoblab 
I 
—*  x j  
quyidagini  hosil  qilam iz:
=   ^
 l n ^ .
4тг 
r i
11.2.  H =   ~ [j,  r],  r   <   R -  
H =
 
г],  г  >   H
tcT 
(Jj
11.3.  — —   =   — .  Bunda  « i   va  a 2  -   tok  chiziqlari  va  1-,  2-  muhit 
tg  a 2 
o 2
tekisliklariga  o ‘tkazilgan  norm al  orasidagi  burchaklar.
21  -  F .lek tro d in am ik a
321

---

п '4 '  Нт"  
“ ]■
11.5.
  K oordin atalar  sistemasini  shunday  tanlaym izki,  bunda  tok 
Oz
  o ‘qi  b o ‘yicha,  tekislikka  o'tkazilgan  normal  esa  Ox  o ‘qi  b o ‘yicha 
y o ‘nalgan.  U   holda  [n. H i   —  H\\  =   i  chegaraviy  shartdan  quyidagini
hosil  qilam iz:  H y  =