Nazariy fizika kursi

5-bob
Elektrostatika
5.1 
Elektrostatik  maydon
llarakatsiz  zaryadlar  hosil  qilayotgan  maydonga  elektrostatik  rnay- 
doii  deyiladi.  Zaryadlar  harakatsiz  bo'lganligi  uchun  ko‘rilayotgan  sis- 
i(  m.iila  tok  nolga  teng  va  maydon  kuchlanganliklarining  vaqt  bo'yicha
<
 «  /j'.arishlari  ham  nolga  teng  bo'ladi.  Bu  holda  Maksvell-Lorentz  teng- 
laii
ih
lari  quyidagi  ko‘rinishni  oladi:
rot E   — 0.
(5.1)
div H   =
o.
(5.2)
rot H   =
0.
(5.3)
div E   — Anp.
(5.4)
Ikkinchi  va  uchinchi  tenglamalardan
H =   0. 
(5.5)
yii'ni  harakatsiz  zaryadlar  hech  qanday  magnit  maydon  hosil  qilmasligi 
kelib  chiqadi.  Bu  holda  elektr  maydon
E  —  — grad f  
('r>-G)
ill ula  bilan  aniqlanadi.  Bu  ifodani  (5.1)  tenglamaga  qo'ysak  u  avnan 
qnnoatlanadi.  (5.4)  tenglamaga  qo'yish  natijasida  quyidagi  tenglamani 
i ilamiz:
Д if  =   —A
t
: p. 
(5.7)
Bu  tenglamaga  P u n s  s o n   tenglamasi  deyiladi.  Zaryadlar yo'q  bo'lgan 
la/.oda  p  —  0.  ya’ni  bo'shliqda  (5.7)  tenglama  Laplas  tenglamasiga
( I adi:
A f   =   0. 
(5.8)
m o

---

Bu  tenglamaga  asosan  elektr  maydon  na  maksimumga,  na  minimumga 
ega.  Haqiqatan  ham,  ip  ekstremumga  ega  bo'lishi  uchun  uning  koordi- 
11
atalar  bo'yicha  birinchi  ta.rt.ibli  hosilalari  nolga  teng  bo'lishi.  ikkinchi 
tartibli  hosilalari  d2ip/dx2,  d 2ip/dy2  va  d2ip/dz2  ishoralari  bir xil  bo'li­
shi  kerak.  Bunday  bo'lishi  mumkin  emas,  ales  holda  (5.8)  tenglama 
qanoatlanm aydi.
Tinch  turgan  zaryadlar  hosil  qilgan  elektr  maydon  uyurmasiz  b o '­
lib,  uning  kuch  chiziqlari  zaryadlarda  boshlanib  zaryadlarda  tugaydi. 
M a’lumki,  elektr  maydon  kuch  chiziqlari  musbat  zaryadlarda  bosh- 
lanadi  va  manfiy  zaryadlarda  tugaydi  deb  shartli  ravishda  qabul  qilin- 
gan.
Elektrostatikaning  asosiy  masalasi  zaryadlar  taqsimoti  p(r)  beril- 
ganda  maydon  potensiali  
E(r)  larni  topishdan 
iboratdir. 
Buning  uchun  Puasson  tenglamasini  berilgan  chegaraviy 
shasrtlar  bilan  yechish  kerak.  Xususan,  cheksiz  fazodagi  masala  uchun 
potensial  kamida  1 j r 2  kabi  nolga  intilishi  kerak. 
Demak.  Puassan 
tenglamasining  yechimi
shartni  qanoatlantirishi  kerak.  Bu  shartni  qanoatlantiruvchi  Puasson 
tenglasining yechimini umumiy holda yozish mumkin.  Quyida bu yechi­
mini  isbot.siz  keltiramiz:
Bu  yerda  r   va  r   mos  ravishda  koordinata  boshidan  kuzatish  nuq- 
tasiga  va  dV'  hajm  elementidagi  zaryadga  o'tkazilgan  radius-vektorlar, 
\ r - r '\   zaryaddan  kuzatish  nuqtasigaclia  bo'lgan  masofa.  Umuinan 
olganda Puasson  tenglamasining  (5.10)  korinishdagi yechimi uch karrali 
integralni  hisoblashni  talab  qiladi.  Bunday  integralni  hisoblash  ko'p 
hollarda  qiyinchliklar  tug'diradi.  Ba'zan  uni  to'g'ridan-to'g'ri  hisoblab 
bo'lmaydi.  Bunday  hollarda  masalani  yechishning  taqribiy  yo'llari  qi- 
diriladi,  yoki  maxsus  metodlar  ishlab  chiqiladi.
Zaryadlar  hajm,  sirt  va  chiziq  bo'yicha  taqsimlangan  hoi  uchun 
Puasson  tenlamasining  yechimini  quyida  ko'rinishda  yoziladi:
da
(5.9)
(5.10)