Nazariy fizika kursi

3.5. Kvant mexanikasida harakat tenglamalari
U shbu paragrafda koordinata va impuls o ‘rtaeha qiymatlarining 
vaqt bo‘yicha hosilalarini hisoblab, bu kattaliklam ing vaqt b o ‘yicha 
o ‘zgarish qonunlar keltirib chiqariladi. Impuls va koordinatalar vaqtga 
oshkor ravishda bog‘liq b o im a g a n kattaliklardir. Shuning uchun (3.37) 
ga asosan , ushbu kattaliklam ing vaqt b o ‘yicha o ‘zgarishi Puassonning 
kvant 
qavslari 
orqali 
ifodalanadi, 
y a’ni 
ushbu 
kattaliklam ing 
operatorlari va qaralayotgan mexanik sistemaning gamiltoniani orqali 
ifodalanadi. Um um an olinganda, gamiltonian shu operatorlar va 
vaqtning funksiyasi b o iad i:
Й
=
Й( р х , p y, p : ,X,S>,2,t)
( 3 . 3 8 )
va (3.38) dagi gamiltonianni (3.37) ga qo'yilsa izlanayotgan 
tenglam alam i operator shaklida yozish mumkin:
dX
~ 
*
= 
(3.39)
dP 
-
-
~ £ = 1Н ’РЛ-
(3-39’)
Hosil b o ig a n operator shaklidagi tenglamalar klassik mexanikadagi 
Gamilton tenglamalariga mos 
b o ia d i 
va 
Gamiltonning kvant 
tenglamalari deyiladi. Klassik mexanikada saqlanish qonunlari yoki 
harakat tenglamalarining integrallari bilan tanishib chiqqan edik. 
M aiu m k i, harakat tenglamalari deganda koordinata bilan ularining vaqt 
bo‘yicha olingan birinchi tartibli 
hosilalari orasidagi shunday 
m unosabatlar tushuniladiki, bu m unosabatlar butun harakat davomida
98

---

o ‘z qiymatlarini o ‘zgartirmaydi. Harakat tenglamalarining birinchi 
integrallari tezliklar va impulslar orasidagi munosabatlarini o ‘rnatadi, 
ikkinchi gurah integrallari esa impulsning vaqt b o ‘yicha o‘zgarish 
qonunlarini ifodalaydi. Kvant m exanikasida xuddi shunday m a’noni 
Gamiltonning kvant tenglamalari beradi. Yuqoridagi 
fikrlarni 
tasdiqlash uchun Puassonning qavslarini oshkor ravishda ochib chiqish 
lozim. Agar magnit kuchlari hisobga olinmasa, Gamiltonian quyidagi 
k o ‘rinishga ega bo ‘ladi:
H
= ■
— (Д2 + P 2 + Д2) + 
U (X , Y, Z, t
). 
(3.40)
2
m
T o‘lqin fimksiyasini zarrachaning 
x, y, z
koordinata va 
t
vaqtning 
funksiyasi sifatida qaraladi, operatorlami quyidagicha yozish mumkin:
X = x, Y = y, Z = z
(3.41)
’ "■‘ - " ' b
(3.42)
dX
Endi (3.40) va (3.41) form ulalam i (3.39) ga qo ‘yib “
hisoblanadi:
— = —
{ т - н х ) = - ^ ~ ( х р ; - P ; X )
(3.43)
dt 
ih K 
’ 
2
 mihy 
! 
y 
’
natijaga kelinadi, chunki 
X
operator 
Py, P
2
va 
U(x,y,z,t)
operatorlar bilan kommutativdir. Agarda 
X
va 
Px
operatorlarining o ‘rin 
almashtirish qoydasi (2.57) dan foydalanilsa
P ;X = Px 
(PxX)
= 
Px (XPX- ih ) = 
(Pxx)Px 
-ih P
=