Navoiy kon metallurgiya kombinati Navoiy Davlat konchilik instituti

Ikki o'zgaruvchili funksiya shartli ekstremum masalasi uchun lagranj ko’paytuvchilari usuli.

_Z  f (x, y)  extr



^ (x, y)  0

Lagranj ko’paytuvchilari usulida shartli ekstremumni topish uchun avval Lagranj funktsiyasini quriladi: F(x,y)=f(x,y)+λφ (x,y) (λ parametr Lagranj ko’paytuvchisi deb ataladi).

Ekstremumning zarururiy shartidan statsionar nuqtalar aniqlanadigan tenglamalar sistemasi tuziladi:


_ F


_{ x}  0

^F

^ y
 _{ 0}



^ ( x, y)  0

_

Ekstremumni aniqlash uchun etarli sharti:

d ²F  F ^dx²  2F ^dxdy  F ^dy²

xx xy yy
ikkinchi tartibli differensialning musbat yoki manfiy aniqlanganligiga bo’g’liq.

Agar statsionar nuqtada

d ²F  0

bo'lsa, unda

z  f _ x, y_

funktsiyasi bu

nuqtada shartli minimumga ega, agar bo'ladi.

d ²F  0

bo'lsa, shartli maksimumga ega

Ekstremumni aniqlashning yana bir usuli mavjud.

(x, y)  0

cheklov tenglamasidan biz quyidagilarni olamiz:

d(x, y)  ^_xdx  ^_ydy  0

_^_xdx  ^_y dy  0

^d ²F  F ^dx²  2F ^dxdy  F ^ dy²
_dy ^_x dx





^

_^ xx xy yy

^ ^

y


2
  _ 

 d ²F  F ^dx²  2F ^dx _  ^x dx _  F ^ _  ^x dx _ 

xx xy

 ^ 

yy _{  }

_{ } dx²

y y

_^{F dx2  2 F  } ^ 2 ^{F } _

y
(^ )^{2 xx}

x y xy

x yy

Ikkinchi ko’paytuvchini (qavs ichida joylashgan) quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin:

0

H  ^_x

^_y

^_x F_x^_x^ F_x^_y^

^_y F_x^_y^{ F}y^y

Agar

H  0

bo'lsa, unda shartli maksimumni ko'rsatadigan

d ²F  0

ga ega

bo’lamiz. Xuddi shunday,

H  0

uchun d ²F  0 , ya'ni. z = f (x, y) funktsiyasining

shartli minimaliga ega bo’lamiz.

Ba'zi bir mualliflar H determinantni boshqa shaklda yozadilar ("-" belgisi bilan):

0

H  ^_x

^_y

^_x F_x^_x^ F_x^_y^

^_y F_x^_y^{ F}y^y

Bunday vaziyatda yuqorida keltirilgan qoida quyidagicha o'zgaradi: agar H  0

bo'lsa, unda funktsiyaning shartli minimumi bo'ladi va H  0 uchun biz z = f (x, y)

funktsiyaning shartli maksimal qiymatini olamiz. Masalalarni yechishda bunday nuanslarni hisobga olish kerak.

Ikki o'zgaruvchili funktsiyani shartli ekstremumini aniqlash algoritmi.

1. Lagranj funktsiyasini tuzamiz. F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)

_ F


_{ x}  0

^F


^ y
2. ^  0



^ ( x, y)  0

_

3.Ekstremumning zarururiy shartidan topilgan har bir statsionar nuqtada ekstremumi topiladi.

Buning uchun quyidagi usullardan biri qo'llaniladi:

1. 
   H determinant tuzib olinadi va uning ishorasi aniqlanadi.
   

2. 
   Cheklov tenglamasi yordamida
   

1-misol

d ²F ishorasi aniqlanadi.

x² + y² = 10 sharti ostida Z(x, y) = x + 3y funktsiyasining shartli ekstremumini toping.

Cheklov tenglamasidan bir o'zgaruvchini boshqasi orqali ifodalash va uni z (x, y) = x + 3y funktsiyasiga keltirib qo’yish biroz qiyinchiliklarga olib keladi, shuning uchun biz Lagran ko’paytuvchilar usulidan foydalanamiz.

^  ^{x, y} ^{ x2  y2 10}

ni belgilab, Lagranj funktsiyasini tuzamiz:

F(x, y)  f (x, y)  (x, y)  x  3y  (x²  y² 10)
^F  1  2 x

x

^F  3  2 y

y

Lagranj funktsiyasining statsionar nuqtalarini aniqlash uchun tenglamalar sistemasini tuzamiz:



1  2 x  0

_3  2  0



^x²  y² 10  0

Agar λ = 0 faraz qilsak, birinchi tenglama quyidagicha bo'ladi: 1 = 0. Olingan qarama-qarshilik λ ≠ 0 ekanligini bildiradi. λ ≠ 0 shart va birinchi va ikkinchi

tenglamalardan: x  ¹ ,

2

y  ³

2

. Olingan qiymatlarni uchinchi tenglamaga

qo’yib, biz quyidagini olamiz:
2 2
^  ¹

_{ } 1 _{   } 3 <sub>

</sub> 1

10  0   ²  

2
 _2  

2 ^{ 4 } 1

    _{   .}

^ ¹ 2

   ¹  x   ¹  1; y   ³  3;

¹ 2 ¹ 2 ¹ 2

1 1

  ¹  x   ¹  1; y   ³

 3;

² 2 ¹ 2 ² 2

2 2

Shunday qilib, tizim ikkita echimga ega:

  ¹ ;x₁ = 1; y₁ = 3 va   ¹ ; x₂ =

1 ₂ 2 ₂

−1; y₂ = −3. Endi har bir statsionar nuqtada ekstremaning turini aniqlaymiz: M₁(1;3) va M₂ (−1; −3). Buning uchun biz har bir nuqtada determinantniH ni hisoblaymiz.

^_x  2x;^_y  2 y; F_x^_x^  2; F_x^_y^  0; F_y^_y  2.

0

H  ^_x

^_x

F_x^_x^

^_y

F_x^_y^

0 2x

 2x 2

2 y 0 x y

0  8 x  0

^_y

F_x^_y<sup>

F</sup>y^y

2 y 0 2

y 0 

0 1 3

M1 (1; 3) nuqtada biz quyidagini olamiz:

H  8 1  ¹

2

3 0

0  40  0

_ 1

2

shuning uchun M₁(1;3) nuqtada z (x, y) = x + 3y funktsiyasi shartli maksimalga ega, z_max = z(1;3) =10.

Xuddi shunday, M2 (−1; −3) nuqtada ham topamiz:

0 x

H  8 x 

y 0

_y 0

0  1



3

1 3

1 ₀

2

₀ 1

2

 40  0

H  0 . Demak M2 (−1; −3) nuqtada z(x,y) = x + 3y funktsiya shartli minimumiga ega, ya'ni: z_min = z (−1; −3) = - 10.

M1 (1; 3) va M2 (−1; −3) statsionar nuqtalarida ekstrememum masalani H determinantda foydalanmasdan yechish mumkin. Har bir statsionar nuqtada d²F ishorasini aniqlaymiz:

F_x^_x^  2; F_x^_y^  0; F_y^_y  2 


xx xy yy
d ²F  F ^dx²  2F ^dxdy  F ^dy²  2(dx²  dy² )

Demak, bizda: dx² + dy²> 0, shuning uchun

  ¹ uchun d²F <0 bo'ladi. Shuning

1 ₂

uchun funktsiya M₁(1; 3) nuqtada shartli maksimal qiymatga ega. Xuddi shunday,

  ¹

2 ₂

uchun d²F >0 . Shuning uchun M₂ (−1; −3) nuqtada z (x, y) = x + 3y

funktsiyasining shartli minimumini olamiz.

E'tibor bering, bu misolda d²F ishorasinii aniqlash uchun dx va dy o'rtasidagi bog'liqlikni hisobga olishimiz shart emas, chunki d²F ning ishorasi ravshan.

Javob: (−1; −3) nuqtada, funktsiya shartli minimal, z_min = −10. (1; 3) nuqtada funktsiya shartli maksimalga ega, z_max = 10

Quyidagi misolda d²F belgisini aniqlash uchun dx va dy o'rtasidagi munosabatni hisobga olish kerak bo'ladi.

2– misol.

x + y = 0 sharti bilan z (x, y) = 3y³ + 4x² - xy funktsiyasining shartli ekstremumini toping.

Birinchi usul (Lagranj ko’paytuvchilari usuli)

 _ x, y_  x

• 
  y ni belgilab, Lagranj funktsiyasini tuzamiz:
  

F (x, y) 

^{f (x, y)  (x, y)  3y3  4x2  xy  }  ^{x  y} 

^F  8x  y  

x

^F  9 y²  x  

y

_8x  y  

 ₂

_9 y  x    0


x




^ y  0
Tenglamalar sistemasini yechib: x₁ = 0, y₁ = 0, λ₁ = 0 va x₂ = 10/9, y₂ = −10/9, λ₂ =

−10 ni olamiz. Ikkita statsionar nuqta bor: M₁(0;0) va M₂(10/9; −10/9). Endi H determinantidan foydalanib, har bir statsionar nuqtada ekstremumning turini aniqlaymiz.

^_x  1;^_y  1; F_x^_x^  8; F_x^_y^  1; F_y^_y  18 y.

0 ^_x

^_y

0 1 1

H  ^_x

F_x^_x^

F_x^_y^  1 8

1  10  18 y

^_y

F_x^_y<sup>

F</sup>y^y

1 1 18 y

^M1^{(0;0) nuqtada H = −10−18⋅0 = −10 <0, shuning uchun M}1^{(0;0) funktsiyasining shartli minimal nuqtasi, z (x, y) = 3y3 + 4x2 - xy, z}min ^{= 0 . . M}2^{(10/9;−10/9) nuqtada H=10>0, shuning uchun ushbu nuqtada funktsiyaning shartli maksimumga ega, z}max ^{= 500/243.}

Biz d²F ning ishorasida qarab, har bir nuqtada ekstremum ikkinchi usul bilan aniqlaymiz:


xx xy yy
d ²F  F ^dx²  2F ^dxdy  F ^dy²  8dx²  2dxdy  18ydy²