Navoiy davlat pedagogika instituti fizika matematika fakulteti

MAVZU: PREDIKATLAR ALGEBRASINING AYNAN CHIN VA AYNAN YOLG’ON FORMULALAR PREDIKATLAR HISOBI

Predikatlar uchun quyida kiritiladigan barcha tushunchalar ihtiyoriy ℳ to’plam bilan bog‘liqBu to’plamni predmetlar to’plami deb ataymiz. Lotin alifbosining oxirrog‘idagi x, u, z, u, v, x1, x2 , . . . - lar o‘zgaruvchi predmetlarni, boshidagi harflar a, b, c, a1, a2 , . . . - lar ℳ to’plamning aniq elementlarini bildirad Lotin alifbosining bosh harflari A , V , S , . . . - orqali o‘zgaruvchi yoki o‘zgarmas mulohazalar belgilanad

F ( x ), G ( x, y ), P ( x1, x2, . . . , xn ), . . . – ifodalar orqali predikatlarni belgilaymiz.

Agar a, b – doimiy predmetlar, G – ikki o‘zgaruvchili predikat bo‘lsa, G ( a, b ) mulohaza bo‘lishi ravshan.

A , V , S , . . . va F ( a ), G ( a, b ), . . . ko‘rinishdagi mulohazalar elementar mulohazalar deyiladi

Endi predikatlar algebrasining formulasi tushunchasini kiritamiz.

Predikatlar algebrasida quyidagi simvollar ishlatiladi:

x0, x1, . . . , xn – predmet o‘zgaruvchilar.

, , . . . , , . . . – predikatlar ( - n – o‘rinli predikat).

ù , Ù , Ú , Þ , Û - mantiq amallar

" , $ - kvantorlar.

( , ) - qavslar.

2.1 - ta’rif. 1. Har qanday elementar mulohaza – formuladir.

2. Agar - ni – o‘rinli predikat, , . . . , - o‘zgaruvchi predmetlar yoki doimiy predmetlar bo‘lsin. U holda - formuladir.

YuQoridagi 1,2 – punktlarda aniqangan formulalar elementar formulalar deyiladi

3. Predikatlar algebrasining birida bog‘liq bo‘lgan predmet o‘zgaruvchi ikkinchisida erkin bo‘lmaydigan Á va  formulalar berilgan bo‘lsin. U holda Á Ù Â, Á Ú Â, Á Þ Â,

Á Û Â ,ù Á ifodalar ham predikatlar algebrasining formulalaridir.

4. Predikatlar algebrasining x erkin o‘zgaruvchi qatnashgan A ( x ) formulasi berilgan bo‘lsin, u holda

"x A ( x ), $ x A ( x ) ifodalar ham predikatlar algebrasining formulasidir.

Predikatlar algebrasining 1 – 4 punktlarda sanab chiqilgan formulalardan boshqa formulalari yo‘q.

2.2 - misol.

, " x $ x , " x - ifodalar predikatlar algebrasining formulalaridir.

Predikat simvolidagi indekslarni kerak bo‘lmagan hollarda tashlab yozishni kelishib olamiz. Masalan, o’rniga R ( x, y, z ) yozish mumkin.

2.3 - misol . " x Q ( x, u ) Ú R ( x ) ifoda formula bo‘lmaydi, chunki, 2.1 - ta’rifdagi 3 - punkt shartlari bajarilmagan.

2.4 - misol . N0 q { 0, 1, 2, . . . } to’plam va N0´N0 da aniqangan P( x, y ) ⇌ “ x < y ” , Q( x, y ) ⇌ “ x2 + y2 q 5 “ predikatlar berilgan bo‘lsin. $x ( R( x, u ) Ù Q( x, u )) – predikatning qiymatlarini topaylik. Bu formula bir o‘zgaruvchili predikat bo‘lib, uning qiymatfaqat u ga bog‘liqMasalan, agar

u q 0 bo‘lsa, $x ((« x < u ») Ù (« x2 + 02 q 5 »)) q 0 ;

u q 1 bo‘lsa, $x ((« x < 1 ») Ù (« x2 + 12 q 5 »)) q 0;

u q 2 bo‘lsa, $x ((« x < 2 ») Ù (« x2 + 22 q 5 »)) q 1 va h.k[D2].

( bu yerda * «⇋» belgi « aynan shu » ma’nosini bildiradi ).

Takrorlash uchun savollar :

Predikatlar algebrasining simvollarini ayting.

Predikatlar algebrasining formulasiga ta’rif bering.

Predikatning predmetlar sohasi nima ?

M a sh q l a r :

quyidagi formulalardagi erkli va bog‘liq o‘zgaruvchilarni aniqlang :

"x A ( x ).

A ( u ) Þ $x V ( x ).

$x "u ( A ( x ) Ù V ( u )) Þ "u S ( t, u ).

"x ( $u ( A ( x, u )) Þ V ( t, t, z ).

quyidagi mulohazalarni predikatlar algebrasi tilida ifodalang :

« Barcha ratsional sonlar haqiqiy ».

« Ayrim ratsional sonlar haqiqiy emas ».

« 12 ga bo‘linuvchi har qanday natural son 2, 4 va 6 ga bo‘linad ».

« Ayrim ilonlar zaharli ».

5) « Bir to‘g‘ri chizig‘da yotmagan 3 ta nuo‘ta orqali yagona tekislik o‘tkazish mumkin ».

« Yagona x mavjudki, R ( x ) ».

A ( x ) ⇋ « x – tub son », V ( x ) ⇋ « x – juft son »,

S ( x ) ⇋ « x – toq son », D ( x ) ⇋ « x y ni bo’lad » kabi xossalarni bildirsa quyidagilarni qo‘ing :

A ( 7 ).

V ( 2 ) Ù A ( 2 ).

"x ( V ( x ) Þ "u ( D ( x, u ) Þ V ( u )).

"x ( S ( x ) Þ "u ( A ( u ) Þ ù D ( x, u ))).