Natural sonlar Butun sonlar Ratsional sonlar Irratsional sonlar

1-teorema (arifmetikaning asosiy teoremasi).
Har qanday murakkab son tub sonlar ko‘paytmasiga yoyiladi va agar ko‘paytuvchilarningyozilish tartibi nazarga olinmasa, buyoyilma yagonadir.
Isbot. a_x — murakkab son, q_x esa uning eng kichik tub boluvchisi bolsin. a_x ni q_x ga bolamiz: a_x = q_x • a₂ (a₂< a_x).
Agar a₂ tub son bo‘lsa, a_x son tub ko‘paytuvchilarga yoyil- gan bo‘ladi. Aks holda, a₂ ni o‘zining eng kichik tub bo‘luvchisi q₂ ga bo‘lamiz:
q₂ ' (^3 ^ Qy).
Agar a₃ tub son bo‘lsa, a_l = q_l q₂ • a₃ bo‘ladi. q_v q₂, я₃ son- lari tub sonlar bo‘lgani uchun, a_x soni tub ko‘paytuvchilarga yoyilgan bo‘ladi. Agar a₃ murakkab son bo^clsa, yuqoridagi jarayon davom ettiriladi.
a_x > a₂ > a₃ > . . . ekanligidan ko‘rinadiki, bir necha qadam- dan so‘ng albatta a_n tub soni hosil bo‘ladi va a_x soni «1 = q_x • q₂ •... • a_n shaklni oladi. Demak, har qanday natural son tub ko‘paytuvchilarga yoyiladi.
a soni ikki xil ko‘rinishdagi tub ko‘paytuvchilar yoyilmasiga ega bo‘ladi, deb faraz qilaylik:
a=p_x p₂ -... p_k, (2)
Q\ ‘ Q2 ‘ *** * Qn' (3)
U holda
Qi'Qr- Pi - Pk (4)
(4) tenglikning ikki tomonida hech bo‘lmaganda bittadan tub son topiladiki, u sonlar bir-biriga teng bo‘ladi. p_x = q_x deb faraz qilaylik. Tenglikning ikkala tomonini p_x = q_x ga qisqartirsak q₂ ‘... q_n= p₂ •... • p_k boladi. Bu tenglik ustida ham yuqoridagidak mulohaza yuritsak, q₃ •... ■ q_n = Py ••• • P_kbo‘ladi va hokazo. Bu jarayonni davom ettirsak, n- 1 qadamdan so‘ng 1 = p_n+± • ••• • p_k tenglikni olamiz. Bundan P_n+\ =1, p_k = 1 ekanligi kelib chiqadi. Demak, yoyilma yagona ekan.
a sonini tub ko‘paytuvchilarga yoyishda ba’zi ko‘paytuvchilar takrorlanishi mumkin. q_v q₂, ..., q_n ko‘paytuvchilarning takror- lanishlarini mos ravishda a, p, у orqali belgilasak,
^a = Qi 'Q2 ‘ ••• ' On hosil bo‘ladi. Bu a sonining kanonikyoyilma- sidir. Masalan,
105840 = 2⁴ • З³ • 5 • 7².
Natural sonlaming kanonik yoyilmasidan foydalanib, uning boluvchilarini va boluvchilar sonini topish mumkin.

1. 
   teorema. a natural sonining kanonik yoyilmasi
   

a = p^¹ • Pj² • ... • Pnⁿ boHsin. U holda a ning har qanday bo‘- luvchisi d = p^ ■ pf² • ... • p%ⁿ kocrinishda boHadi, bunda 0 < p^<a_k (k = 1 ,w).
I s b о t. a soni dga bo‘linsin. a=dq. U holda a ning hamma tub boluvchilari mavjud va ularning darajalari d ning kanonik yoyilmasidagi darajalaridan kichik bolmaydi. Shunga ko‘ra, d
boluvchi d = ¹ • ² • ... • p%ⁿ yoyilmaga ega va a ning d ga bo‘linishi ayon.
Misol tariqasida 48 ning boluvchilarini topaylik. 48 = 2⁴ • 3 bolganligidan, uning boluvchilari quyidagicha topiladi: 2° • 3°,

20. 
    • 3°, 2² • 3°, 2³ • 3°, 2⁴ • 3°, 2° • 3¹, 2² • З¹, 2³ • 3¹, 2⁴ • З¹, 2¹ • 3¹.
    

a natural sonining natural boluvchilari soni x(a) bilan belgi­lanadi.

2. 
   teorema. Agar a natural sonining kanonik yoyilmasi
   

a = p^¹ •P2² ...’p„ⁿ bo4sa, x(a) = (aj + l)(a₂ + 1)...(а_л+ 1) tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbоt. 2- teoremagaasosan a = pf^l • p₂² ... -p„ⁿ sonining
har bir boluvchisi ^f¹ -p₂² • ... -p%ⁿ kocrinishda boladi. p_x ifoda 0; 1; 2; ...; 04 qiymatlarni qabul qiladi.

Ratsional sonlar
1. Butun sonlar. Oddiy kasrlar. Nol sonini natural sonlar to‘plamiga kiritib, butun manfiymas sonlar to ‘plami deb ataladigan yangi sonli to‘plam hosil qilamiz va bu kengaytirilgan to‘plamni N_q = {0, 1, 2, 3, ..., n, ...} orqali belgilaymiz. Katta sonni kichik sondan ayirish mumkin bo‘lishi uchun N₀ sonlar to^cplamini yangi sonlar kiritish yo^cli bilan yanada kengaytirish zarur.
To^cg^cri chiziqni olib, unda yo^cnalish, 0 boshlang^cich nuqta va masshtab birligini olamiz (7- rasm). Boshlang^cich nuqtaga 0 sonini mos qo^cyamiz. Boshlang^cich nuqtadan o^cng tomonda bir, ikki, uch va h.k. masshtab birligi masofada joylashgan nuqtalarga2, 3, ... natural sonlarni mos qo‘yamiz, boslilang‘ich nuqtadan chap tomonda bir, ikki, uch va h.k. birlik masofada joylashgan nuqtalarga -1, -2, -3, ... simvollari bilan belgilanadigan yangi sonlarni mos qo‘yamiz.
Bu sonlar butun manfiy sonlar deb ataladi. Sonlar belgilangan bu to^£g‘ri chiziq son o‘qi deb ataladi. 0‘qning strelka bilan ko‘rsatilgan yo‘nalishi musbat yo‘nalish, bunga qarama-qarshi yo‘nalish esa manfiy yo‘nalish deb ataladi. Natural sonlar son o‘qida boshlang‘ich nuqtadan musbat yo‘nalishda qo‘yiladi, shuning uchun ular musbat butun sonlar deb ataladi.
Butun manfiymas sonlar to^£plami bilan butun manfiy son­lar to‘plamining birlashmasi yangi sonli to‘plamni hosil qiladi, bu to‘plam butun sonlar to ‘plami deb ataladi va Z simvoli bilan belgilanadi:
Z = {...,-4,-3,-2,-1, 0,1,2,3,4,...}.
a va -a sonlar qarama-qarshi sonlar deb ataladi. Son o‘qida bu sonlarga mos keladigan nuqtalar nolga nisbatan simmetrik joylashadi (8- rasm).
0‘lchash natijasi butun sonlarda, o‘nli yoki oddiy kasrlarda ifodalanadi. Agar miqdor qarama-qarshi (o^£sish-kamayish, yuqoriga-quyiga, foyda-zarar, issiq-sovuq va hokazo) ma’noga ham ega bo^£lsa, uning qiymatlari oldiga mos ravishda musbatlik («+») yoki manfiylik («-») ishorasi qo‘yiladi: x--8, у - 8, t- +5°.
Oddiy kasrlar uchun quyidagi xossalar o‘rinlidir:

1. 
   Har qanday kasr o‘z-o‘ziga teng: § = §, chunki ab = ba .
   
2. 
   Agar J = 2 bo‘lsa, u holda § = § bo‘ladi.
   
3. 
   Agar f = § bo‘lib, § = ^ bo‘Isa, u holda § = ^ bo‘ladi.
   
4. 
   Agar f kasming surat va maxraji m * 0 songa ko‘paytirilsa
   

yoki bo‘linsa, uning qiymati o‘zgarmaydi.
Ko‘paytmasi birga teng bo‘lgan ikkita sonlar о ‘zaro teskari sonlar deb ataladi.
Irratsional sonlar. Qisqarmas kasr shaklida ifodalab bo‘l-
maydigan sonlar, ya’ni irratsional sonlar ham uchraydi.
1-misol. 0,101001000100001000001... soni irratsional son ekanini isbotlang (birin- chi birdan keyin bitta nol, ikkinchi birdan keyin ikkita nol va hokazo).
Isbot. Berilgan kasr davriy va uning davri n ta raqamdan iborat deb faraz qilaylik (teskari faraz). 2n + 1 -bimi tanlaymiz. Bu birdan keyin 2n + 1 ta ketma-ket nollar keladi.Shu o‘rtada turgan 0 ni qaraymiz. Bu nol biror davming yo boshida, yoki ichida, yoki oxirida keladi. Bu hollaming ham- masida bu davr ajratilgan nollardan tuzilgan «kesma»da to‘la joylashadi. Demak, davr faqat nollardan tuzilgan. Bunday bo‘lishi esa sonning tuzilishiga zid. Demak, qilingan faraz noto‘g‘ri.
Barcha ratsional va irratsional sonlar birgalikda haqiqiy sonlar deyiladi.
Haqiqiy sonlar to‘plami R orqali belgilanadi. Manfiy va musbat haqiqiy sonlar to‘plamlarini mos ravishda R_, R₊ lar bilan
belgilab, R = R_ (J {0} U R+ tenglikka ega bo‘lamiz.
Sonlaming ildiz ishorasi orqali yozilishi ularning kattaligini
aniq bilishga yetarli emas.