Namangan muhandislik qurilish instituti sanoatni axborotlashtirish fakulteti informatika va at kafedrasi

2.Turg’unlikning Gurvis mezoni.

         ABS ning xarakteristik tenglamasi berilgan bo’lsin:

A(R)  =a₀Pⁿ+a₁P^n-1+…+a_n=0                               (9)

         Shu xarakteristik tenglama koeffisientlaridan tuzilgan jadvalga Gurvis aniqlovchisi (determinanti) deyiladi.

         Gurvis aniqlovchisini tuzishda quyidagi qoidaga rioya qilish kerak:

         a) bosh dioganal bo’yicha hamma koeffisientlarni “a₁” dan to “a_n” gacha o’sish tartibi bilan yozib chiqiladi.

         b) bosh dioganalga nisbatan qatorlarning pastga tomon indekslari kamayuvchi, yuqoriga tomon indekslari o’sib boruvchi koeffisientlar bilan to’ldiriladi.

         v) indekslari noldan kichik hamda “n” dan katta bo’lgan koeffisientlar o’rniga nollar yoziladi.

         g) Gurvis aniqlovchisining eng yuqori tartibi xarakteristik tenglamaning darajasiga teng bo’ladi.

         d) Gurvis aniqlovchisining oxirgi tartibi D₀=a₀D_n ga tengdir.

 

                                                   a₁  a₃  a₅  a₇  0

                                                     a₀  a₂  a₄  a₆  0

                                         D_n =    0  a₁  a₃   a₅  0

                                                      0   a₀  a₂  a₄  0

                                                       ……………..

                                                      0   0   0    0  a_n

 

         Gurvis  mezoni ta’rifi:

         Agar a₀>0 bo’lib,Gurvisning hamma aniqlovchilari noldan katta bo’lsa, u holda sistema turg’un bo’ladi, ya’ni a₀>0 bo’lganda  D₁ >0; D₂ >0; D₃ >0;…..D_n>0 bo’lishi kerak.

         D_n=a_n D_n-1 bo’lishi Gurvis aniqlovchisining tuzilish strukturasidan kelib chiqadi. Shunga ko’ra, agar D_n=a_n D_n-1=0 bo’lsa, sistema turg’unlik chegarasida bo’ladi. Bu tenglik ikki holda, ya’ni a_n=0 bo’lganda yoki D_n-1=0 bo’lganda bajarilishi mumkin. Agar a_n=0 bo’lsa, unda tekshirilayotgan sistema turg’unlik holatining aperiodik chegarasida bo’ladi(ya’ni xarakteristik tenglamaning bitta ildizi nolga teng bo’ladi).

Agar  D_n-1=0 bo’lsa, unda tekshirilayotgan sistema turg’unlik holatining tebranma chegarasida bo’ladi (bunda xarakteristik tenglama juft mavxum ildizga ega bo’ladi).

Endi n=1,2,3,4 ga teng bo’lgan tenglamalar bilan ifodalangan sistemalar uchun Gurvis turg’unlik mezonining shartlarini ko’rib chiqamiz:

a) n=1, a₀R+a₁=0.

Bunda a₀>0; D₁=a₁>0 turg’unlik sharti bo’ladi. Demak, birinchi tartibli sistemalar turg’un bo’lishi uchun xarakteristik tenglama koeffisientlarining musbat bo’lishi etarlidir.

b) n=2, a₀R²+a₁R+a₂=0

bunda turg’unlik shartlari quyidagicha bo’ladi.

a₀>0;D₁=a₁ >0

Demak, ikkinchi tartibli tenglama bilan ifodalangan sistemalarning ham turg’un bo’lishi uchun xarakteristik tenglama koeffisientlarining musbat bo’lishi etarli shart hisoblanadi.

         v) n=3, a₀R³+a₁R²+a₂R+a₃=0

         Turg’unlikning zarur shartlari:

          a₀>0;D₁=a₁ >0

 D₃=a₃ D₂>0.

         Shunday qilib, uchinchi tartibli tenglama bilan ifodalangan sistemalarning turg’un bo’lishi uchun xarakteristik tenglama koeffisientlarining musbat bo’lishi etarli bo’lmay, bunda (a₁ a₂- a₀ a₃)>0 tengsizlikning bajarilishi zarur shart hisoblanadi.

         g) n=4, a₀r⁴+ a₁r³+ a₂ r²+ a₃ r+ a₄=0