|
Tabiiy fanlar va ekologiyaga oid ayrim muammolar (Ilmiy maqolalar to’plami) XVII
3
О ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ НАЧИНАЮЩИХСЯ СО
СЛУЧАЙНОГО ЧИСЛА ЧАСТИЦ С ДСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
Ибрагимов Р., Машраббоев А.
Пусть ветвящихся случайных процессов
1
начинается со случайного числа
частиц.
Если через
n
Z
обозначим число частиц к моменту времени
n
тогда
1
,
...
2
1
o
i
n
n
n
n
Z
,
где
n
i
-число частиц, произведенное
i
-ой частиц за
n
поколений (
i
-номер
частиц),
n
i
независимое.
Положим
,
1
,
,
,
,
1
1
1
1
1
1
2
B
M
A
M
D
m
M
k
P
W
k
2
1
1
1
1
1
1
1
M
,
2
1
,
,
n
n
n
k
k
k
DZ
m
i
Me
s
W
s
.
Легко можно вычислить, что
,
n
n
mA
MZ
.
1
åñëè
,
1
åñëè
,
1
2
2
2
2
2
A
,
σ
mnB
A
A
A
A
A
A
A
A
B
m
DZ
n
n
n
n
Введем следующие обозначения
n
n
n
n
MZ
Z
характеристическая функция которой
1
k
k
i
n
mA
i
k
n
n
n
n
e
F
e
W
,
(1)
n
Ms
s
F
n
1
Приведенные ниже теоремы посвящены к изучению асимптотического
поведения случайной величин
n
.
Теорема 1. Пусть
B
A
,
1
.
Предположим, что при
2
,
,
n
m
n
,
2
0
n
, тогда
1
2
2
1
2
o
e
t
n
, где
n
n
A
.
Это теорема является аналогом теоремы
3
Роббинса для сумм случайного
числа независимых одинаково распределенных случайных величин и обобщает
результат Ламперти
2
.
На самом деле из теоремы следует, что если
n
0
n
n
A
,
то
1
o
x
mA
Z
P
n
n
n
,
Tabiiy fanlar va ekologiyaga oid ayrim muammolar (Ilmiy maqolalar to’plami) XVII
4
где
x
Z
dz
e
x
2
2
2
1
.
Доказательство теоремы 1.
Равенство (1) запишем в виде
1
k
k
i
n
A
i
A
m
k
i
k
n
n
n
n
n
n
e
F
e
e
W
.
Вводим функцию
.
,
'
1
N
m
e
F
e
e
F
e
e
W
k
m
i
n
A
i
m
i
n
A
i
A
m
k
i
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Очевидно, что
m
i
n
A
i
k
i
n
A
i
A
m
k
i
k
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
e
F
e
e
F
e
e
W
1
2
1
2
2
n
n
d
m
k
d
m
k
,
(2)
d
- любые положительное число.
Из условий теоремы следует, что при
n
.
0
,
0
4
2
2
2
2
n
n
n
m
M
m
M
.
По этому
0
2
n
m
по вероятности при
n
.
Следовательно, для любого
0
d
1
2
2
2
1
2
o
d
m
P
W
n
d
m
k
k
n
.
(3)
Дали, повторяя рассуждения работы Роббинса
3
можно показать, что
1
2
1
2
2
1
2
2
o
e
dD
n
dD
n
(4)
Так, как
1
A
, то
0
lim
1
n
n
D
.
Следовательно, из (2)-(4) вытекает
1
o
n
n
.
(5)
Далее
2
2
2
1
2
2
1
n
n
n
n
n
n
i
n
A
O
M
A
i
e
F
n
.
Tabiiy fanlar va ekologiyaga oid ayrim muammolar (Ilmiy maqolalar to’plami) XVII
5
Тогда
2
2
2
2
1
2
1
n
n
n
n
i
n
A
i
A
o
D
e
F
e
n
n
n
(6)
Отсюда используя (6) найдем асимптотическое выражение для
n
.
1
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
ln
o
e
o
e
e
n
n
n
n
n
n
n
n
A
mD
A
O
D
m
n
1
2
2
1
2
o
e
(7)
Из соотношений (5), (7) вытекает утверждение теоремы 1.
Теорема 2. Если
B
, то при
n
,
0
,
1
,
2
,
1
~
0
B
A
åñëè
Bn
m
A
åñëè
kmA
Z
P
n
n
где
k
-положительная постоянная.
Функции
s
,
s
F
n
в ряд Тейлора получаем доказательство теорем.
Теорема 3. Если
2
,
,
1
B
A
, то
l
n
n
n
P
Z
l
Z
P
0
/
lim
, и
производящая функция
l
P
равна
s
q
, где
s
q
является решением уравнения
s
q
A
s
F
q
l
1
1
.
Таким образом в этом случае предельное распределение не зависит от
начального состояния.
Этот факт в случае когда
1
l
P
для некоторого целого
0
l
обнаружен
Севастьяновым Б.А.
Доказательство теоремы 3.
Производящая функция условных вероятностей
0
/
n
n
Z
l
Z
P
имеет вид
.
0
1
0
0
/
1
l
n
n
n
l
n
n
F
F
s
F
s
Z
l
Z
P
(8)
В силу условий теоремы используя разложение Тейлора имеем
2
1
1
1
s
O
s
m
s
.
(9)
Отсюда, заменяя
s
на
0
n
F
получим
2
0
1
0
1
0
1
n
n
n
F
o
F
m
F
.
(10)
С силу того, что (см
1
) при
n
s
q
F
s
F
n
n
1
0
1
1
Поэтому из (8)-(10) в силу последную получаем, что правая част (8) стремится
к
s
q
.
Теорема 3 доказана.
Теорема 4. Если
2
,
0
,
1
B
A
то при
n
Do'stlaringiz bilan baham: |
