Namangan davlat universiteti matematika fakulteti

O`zgaruvchilarni ajratish usuli. O`zgaruvchilarni ajratish usulini bayon qilish uchun zarur bo`lgan ayrim ma’lumotlarni keltiramiz. Matematik fizikada keng qo`llaniladigan o`zgaruvchilarni ajratish metodidan ayirmali sxemalarni tadqiq etishda ham foydalanish mumkin. Ushbu metodni qo`llash bir nechta o`zgaruvchilarga bog`liq bo`lgan dastlabki masalani kam o`zgaruvchilardan bog`liq bo`lgan soddaroq masalalarga ajratishga imkon beradi. Bunda, odatda, ayrim koordinatalar yo`nalishi bo`yicha xos qiymat muammosi paydo bo`ladi. Aynan shu holat ayirmali sxemalarni qo`llaganda ham o`rinli bo`ladi. Dastlab sodda ayirmali operatorlar uchun xos qiymatlarni izlash masalasini qaraymiz. Bu yerda keltirilgan ma’lumotlardan kelgusida o`zgaruvchilarni ajratish metodini qo`llaganda foydalanish mumkin bo`ladi.
O`zgaruvchilarni ajratish usulini issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun vaznli sxema misolida ko`rib o`taylik:
(8.1)
bu yerda

esa sohada kiritilgan ayirmali to`r.
Ikkinchi tartibli ayirmali operator uchun qo`yilgan ushbu masalani qaraylik

Bu masalaning notrivial yechimi – ya’ni masalaning xos funksiyalari va ularga mos xos qiymatlarini topish talab etilgan bo`lsin. Masalani indeksli ko`rinishda yozamiz

Uning yechimini

ko`rinishda izlaymiz,bu yerda aniqlanishi lozim bo`lgan parametr. Bu holda

munosabat o`rinli bo`ladi. Olingan ifodani ayirmali sxemaga qo`yib ushbuga ega bo`lamiz

Qo`yilgan masalaning notrivial yechimini izlayotganimiz uchun, ya’ni ekanligini inobatga olsak, oxirgi tenglikdan

tenglik kelib chiqadi va undan

ekanligini aniqlash mumkin. Endi parametr ning qiymatini shunday tanlaymizki, chegaraviy shartlar

ni qanoatlantirsin. bo`lganda chegaraviy shart ixtiyoriy uchun o`z-o`zidan bajariladi. bo`lganda tenglikka, bundan ekanligini aniqlaymiz:
1) Shunday qilib qo`yilgan masalaning xos qiymatlari va xos funksiyalari quyidagi ko`rinishda bo`ladi

2) Xos qiymatlar uchun quyidagi tengsizliklar o`rinli:

va ularning barchasi musbat.
3) Turli xos qiymatlar va ga mos keluvchi xos funksiyalar ushbu skalyar ko`paytma ma’nosida o`zaro ortogonal, ya’ni
.
Haqiqatan ham Grinning ikkinchi formulasiga asosan

bo`ladi, chunki va turli xos qiymatlar ga mos xos funksiyalardan iborat. Oxirgi tenglikdan va ning o`zaro ortogonalligi kelib chiqadi:
.
4) Xos funksiya ning normasi

ga teng. Bu yerda norma quyidagi skalyar ko`paytma ma’nosida tushuniladi

Murakkab bo`lmagan almashtirishlar o`tkazamiz

Ushbu belgilashni kiritib va , ekanligini e’tiborga olib, quyidagiga ega bo`lamiz

Bu qiymatni yuqoridagi ifodaga qo`yamiz:

va talab qilingan ifoda isbotlanganligini ko`ramiz.
Shunday qilib, ushbu to`r funksiyalari to`plami

skalyar ko`paytma ma’nosida ortogonallashgan va normallashgan sistemani tashkil etadi:

5) Ayirmali to`r da funksiya berilgan hamda bo`lsin. Bu holda funksiyani xos funksiyalar ning yig`indisi ko`rinishida ifodalash mumkin

qator koeffitsientlari ushbu munosabatlar orqali aniqlanadi

bunda Parseval tengligi o`rinli bo`ladi

Ushbu tenglikni isbotlaymiz. Haqiqatan ham

chunki
Ayirmali sxema (8.1) ning turg`unligini chegaraviy shartlar birjinsli bo`lgan holda o`zgaruvchilarni ajratish metodi bilan tadqiq etamiz. Ushbu ayniyatlardan foydalangan holda

sxema (8.1) ni birjinsli chegaraviy shartlar bilan quyidagicha yozib olamiz
(8.2)