Namangan davlat universiteti fizika-matematika fakulteti



Download 286,25 Kb.
bet10/20
Sana23.04.2022
Hajmi286,25 Kb.
#578014
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   20
Bog'liq
Namangan davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

d H
topiladiki,

A  (d )
Endi
bo’ladi .
d H
element


a1 , a2 ,…, an
elementlar uchun EKUB bo’lishini

ko’rsatamiz.

Agar
ri e
va k i da
rk  0
desak ,
a1r1 a2 r2 a3r3 …  an rn
yig’indi


ai ko’rinishni oladi . Demak ,
ai A
bo’lib ,
A  (d )
ekaniga asosan ai

element d ga bo’linadi , ya’ni (2) hosil bo’ladi . Teorema shartiga binoan ai





(i  1, n)


lardan kjamida bittasi noldan farqli edi. Bundan ,
d  0
degan xulosa

kelamiz .
d A
bo’lgani uchun (3) tenglik o’rinli bo’ladi .

2. Yetarlilik sharti . (2) va (3) tengliklarni qanoatlantiruvchi har qanday

d K
element
a1 , a2 ,…, an
elementlar uchun EKUB bo’ladi .


Haqiqatan , (2) tengliklar barcha
ai (i  1, n)
larning d ga bo’linishini

ko’rsatadi , ya’ni d
umumiy bo’luvchi . Ikkinchidan , biror
b K
boshqa

biror umumiy bo’luvchi bo’lsa ,


d K
element b ga bo’linadi , chunki

ai bqi
bo’lsa (3) tenglikka asosan

tenglik o’rinli.
d b(q'1 r1 q'2 r2
 …  q'n rn )

Endi EKUB birning bo’luvchisi ko’paytmasi aniqligida yagona ekanligini

ko’rsatamiz . Agar
  H
birning bo’luvchisi bo’ksa , u holda (2) tenglikni



i

i
a  (d )  (1q )


(i  1, n)

( 2 )




kabi yozish mumkin.Bunday holda (3) tenglik
d a1 (r1e)  a2 (r2 e) …  an (rne)

(3 )



kabi bo’ladi. ( 2 ) va ( 3 ) tengliklar d

ning ham
a1, a2 ,…, an


lar uchun



EKUB bo’lishini ko’rsatadi . d va d
ko’paytmasiga farq qiladi, xolos .
esa bir-biridan birning bo’luvchisi

Mazkur teorema bosh ideallar halqasining chekli sondagi elementlari uchun EKUB ning mavjudligini ko’rsatadi .

a1 , a2 ,…, an
elementlarning EKUBni toppish masalasini ikkita

elementning EKUBini toppish masalasiga keltirish mumkin. Haqiqatan,



d 1 (a1 , a2 )
bo’lsa, yuqoridagi teoremaga binoan shunday
r1 , r2 H
lar

topiladiki, natijada
d a1r1 a2r2
bo’ladi. Faraz qilaylik,
a1 , a2 , a3
elementlar


EKUB ni d 2
deb olaylik. d 2
element
a1 , a2
elementlarni bo’lgani uchun u



d1 ni ham bo’lishi kerak .



Demak, d1 va a3
ning EKUB
a1 , a2 , a3
elementlarning EKUB bilan

bir hil bo’ladi. Bu fikrni davom ettirsak


dk  (a1 , a2 ,…, ak )  (dk 1 , ak )

tenglikka kelamiz, bu yerda
dk 1  (a1 , a2 ,…, ak 1 )
dir. Demak, n ta

elementning EKUBini toppish masalasi ikkita elementning EKUBini toppish masalasiga keltirildi. Evklid xalqalarida ikkita EKUBni topish algoritmi deb ataluvchi ketma – ket bo’lish usuli yordamida topiladi . H Evklid halqasi va uning ikkita a va b elementi brilgan bo’lsin.
Bunda quyidagi ikkita hol bo’ladi:

  1. Agar

b  0
bo’lsa
(a ; 0) a ;

  1. Agar

b  0
bo’lsa, a va b ga , b ni esa qoldiqqa ,so’ngra oldingi

qoldiqlarni keying qoldiqlarga bo’lish natijasida quyidagi ketma-ketliklar sistemasi hosil qilinadi :
a bq1 r, b r1q 2 r2 ,

r1 r2 q3 r3 ,
(4)

………………

rk 2
rk 1
rk 1qk
rk qk 1.

  • rk ,

(4) tenglik bajarilganda
 (rk )  (rk 1 )  …  (r1 )  (b)



bo’lar edi .
 (ri )



(i i, k)
lar manfiymas butun sonlardir . Har qanday

manfiymas butun sonlar to’plami esa doimo quyidan chegaralangan . Shuning



uchun k qadamdan so’ng biz izlagan EKUB bo’ladi .
rk 1  0
bo’ladi . Bunday holda
rk  0
bo’lib , u

d rk
uchun EKUB ning ikkila sharti bajarilishini tekshirib ko’ring .

  1. teorema .

Evklid
halqasi
bosh
ideallar
halqasi
bo'ladi .

Isboti. Faraz qilaylik , H Evklid halqasi bo’lib , A ning biror ideali bo’lsin


. A ning bosh ideal ekanligini ko’rsatamiz . Bu yerda quyidagi ikki hol bo’lishi mumkin:

a) A to’plam faqatgina bittagina nol elementga ega . Unda bosh idealdir .
A  (0)

b) A  (0)
bo’lsin .H halqa Evklid halqasi bo’lganligi uchun H dagi har

qanday noldan farqli a elementni manfiymas butun songa akslantiruvchi hamda
a bq r

va r 0
yoki
 (r)  (b)
shartlarni qanoatlantiruvchi
 : H
N




0
akslantiruvchi mavjud. Lekin manfiymas butun sonlarning har qanday qism to’plami quyidan chegaralangan. Demak, akslantirish yordamida eng kichik

manfiymas butun songa akslantiruvchi to’plamning ixtiyoriy a elementini
d A
element mavjud. Natijada A

kabi yoza olamiz.
a dq r

, 0 


(r)  (d)
(5)

Endi A dan olingan ixtiyoriy a elementning d ga bo’linishini

ko’rsatamiz.
a dq r a dq r.
Bunda
r A , chunki
a A va
d A

edi. Shuning uchun
r  0
bo’lsa,
 (d )  (r )
bo’lar edi, bu esa

 (d )


ning


eng kichik manfiymas butun son ekanligiga zid. Shuning uchun
r  0
bo’lib, a

element d ga bo’linadi, ya’ni
A  (d )
bosh ideal bo’ladi .

    1. KVATERNIONLAR HALQASI

Ushbu mavzuni yoritishdan avval kvaternion son asoschisi haqida qisqacha ma’lumot keltirib o’tamiz.

Irland matematigi va mexanigi Uilam Rouan Gamilton 1805 yil 4 avgust kuni Dublinda dunyoga keladi. 1837 yildan Irlandiya FA prezidenti, 1827 yildan Dublin unverstiteti asdtronomiya rasadxonasi professori va direktori bo’lgan. Kompleks sonlar nazariyasining aniq rasmiy bayonini bergan. 1843 yilda o’ziga xos sonlar sistemasi-kvaternionlar deb ataluvchi to’rt birlikli (l, i, j, r ) sistemani tuzdi. Shu sistema to’g’risidagi nazariyasi vektorlar analizi taraqqiyotiga katta hissa bo’lib qo’shildi. Mexanik variatsion usulni (eng kam ta’sir prinsipini) mexanikaga tatbiq etdi (rus matematigi M.V.Ostrogradskiy ham mustaqil ravishda aniqlagan). Bu prinsip mexanik va fizik jarayonlarning differensial tenglamalarini keltirib chiqarishda asosiy vositalaridan hisoblanadi. Matematik 1865 yil 2 sentabr kuni Dansinkda vafot etadi.

KVATERNIONLAR.


Bu yerda kvaternionlar uchun Gamilton tomonidan kiritilgan klassik belgilashlar qo’llaniladi.
Ta’rif . Kvaternion son yoki oddiygina kvaternion (dekart shaklda) – bu quyidagi ko’rinishdagi matematik obyekt:
q a bi cj dk ,



Bu yerda
a, b, c,
d - haqiqiy sonlar shu bilan birga a haqiqiy bir soinining

ko’paytuvchisi (odatda yozuvda tushirib qoldiriladi) , i, j, k - mavhum kvaternion birliklar; ularning kvadratlari haqiqiy manfiy ishora bilan olingan birga teng.



i 2
j 2 k 2
 1

Bu to’rt kvaternion birliklar uchun o’zaro ko’paytma qoidasi quyidagicha aniqlangan:



1i i1  i
1 j
j1  j
1k k1  k


ij   ji k
jk  kj i
ki  ik j

Ko’rinib turibdiki haqiqiy birliklar qatnashgan ko’paytma kommutativ , mavhum birlikli ko’paytma – antikommutativ .



Shunday qilib, kvaternion birliklar ko’paytmasining ( i 2 1
bilan
) to’liq

jadvali 16 tenglik ko’rinishida yoziladi . Bu jadvalning ixcham ko’rinishi keying bo’limda berilgan.


Haqiqiy birlikning ko’paytuvchisi – q kvaternionning skalyar qismi deyiladi.
a scal q
Mavhum birliklar bilan chiziqli kombinatsiyasi – vector qism deyiladi
vect q bi cj dk



q a bi cj dk
ko’rinishdagi barcha sonlar kvaternionlar to’plamini

tashkil etadi. Q:
q Q

Ba’zida kvaternionlar ikkilantirilgan kompleks sonlar sistemasi deb ataluvchi jarayon orqali kiritaladi. Shuning uchun , xususiy holda boshqa sonlar sonlar sistemasi bilan birga, quyidagi ikkilantirish tartibi bilan, kvaternionlar giperkompleks sonlar deb ataladi.


MAVHUM BIRLIKLARNING IFODALANISHI
Kompleks sonlar algebrasidagi mavhum birliklar kabi kvaternionlar

algebrasidagi mavhum birliklar algebrada

2  2


- matritsa ko’rinishini qabul

qiladi , bu yerda haqiqiy birlik rolida diagonally birlik matritsa – E bo’ladi.

Agar ixtiyoriy komponentlar
a, b, c, d, e, f
bo’lgan ikki matritsadan







a b   d e

A  
c
mavhum birlik tuzilsa
a ,
B  
f

  • d

i A

i 2


 E ,


j B

j 2


 E ,




ularning ko’paytmasi
ij AB


1 ad bf ae bd

 
cd af ec ad

ham “mavhum birlik”, biroq ko’paytma-matritsasining izi ham nolga teng bo’ladi degan shart ostida
2ad bf ec  0 .

Agar ij=k orqali ifodalansa, bu yo’l bilan topilgan i, j, k matritsalar E birlik bilan kvaternion birliklar ko’paytmasi jadvalini qanoatlantirishini tekshirish qiyin emas. Bunday matritsalar uchligiga oddiy misol ma’lum Paul matritsasiga proporsionallar (-i ko’paytuvchi bilan )



i  i 0 1,
j  i 0
i ,
k  i 1 0 .

1 0   i
0  0
1

      Kvaternion birliklarning boshqach ifodalanishini ham taqdim etish mumkin. Xususiy holda mavhum birlikning oxirgi berilishlarini
0

i  
1

1

0

matritsa bilan almashtirish mavhum kvaternion birliklarni 4 4 – matritsalarning barcha haqiqiy komponentlari orqali ifodalanishga olib keladi.
Kvaternionlarning xossalarini o’rganish uchun aniq ifodaning ko’rinishi shart emas, lekin, masalan kvaternionlar ustidagi amallarni aniqlashda odatda ularning barchasi bir kvaternion birlik ustida tuzilgan deb hisoblanadi , ya’ni ko’riladigan barcha sonlar uchun bir birlik ko’rinish o’ylanadi: agar u o’zgarsa, bu hol darhol barcha sonlar uchun.

Download 286,25 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   20




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish