Juft va toq funksiyalarning Furye qatorlari.
Juft va toq funksiyalarning Furye qatorlari birmuncha sodda ko’rinishga ega
bo’ladi, ya’ni f(x) funksiya
[
]
π
π ,
−
da berilgan juft funksiya bo’lsin. U shu
[
]
π
π ,
−
oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda f(x)cosnx juft funksiya, f(x)sinnx
(n=1,2,…) esa toq funksiya bo’ladi va ular
[
]
π
π ,
−
da integrallanuvchi bo’ladi.
(1.2) formulalardan foydalanib, f(x) funksiyaning Furye koeffisientlarini
topamiz:
=
+
=
=
∫
∫
∫
−
−
π
π
π
π
π
π
0
0
cos
)
(
cos
)
(
1
cos
)
(
1
nxdx
x
f
nxdx
x
f
nx
x
f
a
n
21
∫
=
π
π
0
cos
)
(
2
nxdx
x
f
,...)
2
,
1
,
0
(
=
n
,
=
+
=
=
∫
∫
∫
−
−
π
π
π
π
π
π
0
0
sin
)
(
sin
)
(
1
sin
)
(
1
nxdx
x
f
nxdx
x
f
nxdx
x
f
b
n
0
sin
)
(
sin
)
(
1
0
0
=
+
−
=
∫
∫
π
π
π
nxdx
x
f
nxdx
x
f
,...)
3
,
2
,
1
(
=
n
.
Demak, juft f(x) funksiyaning Furye koeffisientlari
∫
=
π
π
0
cos
)
(
2
nxdx
x
f
a
n
,...)
2
,
1
,
0
(
=
n
,
0
=
n
b
,...)
3
,
2
,
1
(
=
n
(1.6)
bo’lib, Furye qatori esa
∑
∞
=
+
=
1
0
cos
2
)
;
(
~
)
(
n
n
nx
a
a
x
f
T
x
f
bo’ladi.
Endi f(x) funksiya
[
]
π
π ,
−
da berilgan toq funksiya bo’lsin va u shu
[
]
π
π ,
−
oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Bu holda f(x)cosnx toq funksiya , f(x)sinnx
(n=1,2,…) esa juft funksiya bo’ladi. (1.2) formulalardan foydalanib, f(x)
funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz:
=
+
=
=
∫
∫
∫
−
−
π
π
π
π
π
π
0
0
cos
)
(
cos
)
(
1
cos
)
(
1
nxdx
x
f
nxdx
x
f
nxdx
x
f
a
n
0
cos
)
(
cos
)
(
1
0
0
=
+
−
=
∫
∫
π
π
π
nxdx
x
f
nxdx
x
f
,...)
2
,
1
,
0
(
=
n
,
=
+
=
=
∫
∫
∫
−
−
π
π
π
π
π
π
0
0
sin
)
(
sin
)
(
1
sin
)
(
1
nxdx
x
f
nxdx
x
f
nxdx
x
f
b
n
x
nxd
x
f
∫
=
π
π
0
sin
)
(
2
,...)
3
,
2
,
1
(
=
n
.
Demak, toq f(x) funksiyaning Furye koeffisientlari
22
0
=
n
a
,...)
,
2
,
1
,
0
(
=
n
,
∫
=
π
π
0
sin
)
(
2
nxdx
x
f
b
n
,...)
3
,
2
,
1
(
=
n
(1.7)
bo’lib, Furye qatori esa
∑
∞
=
=
1
sin
)
;
(
~
)
(
n
n
nx
b
x
f
T
x
f
bo’ladi.
Misol.
)
(
)
(
2
π
π
≤
≤
−
=
x
x
x
f
funksiyaning Furye qatori yozilsin. (1.6)
formulalardan foydalanib berilgan funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz:
∫
=
=
π
π
π
0
2
2
0
3
2
2
dx
x
a
,
∫
∫
=
−
=
=
π
π
π
π
π
π
0
0
0
2
2
sin
4
sin
2
cos
2
nxdx
x
n
n
nx
x
nxdx
x
a
n
,...)
2
,
1
(
4
)
1
(
cos
cos
4
2
0
0
=
−
=
+
−
−
=
∫
n
n
nxdx
n
nx
x
n
n
π
π
π
.
Bundan,
2
)
(
x
x
f
=
funksiyaning Furye qatori ushbu
∑
∞
=
−
+
−
−
=
−
+
1
2
2
2
2
2
2
...)
3
3
cos
2
2
cos
(cos
4
3
cos
4
)
1
(
3
~
n
n
x
x
x
nx
n
x
π
π
ko’rinishida bo’ladi.
[-l,l] oraliqda berilgan funksiyaning Furye qatori.
Biz yuqorida
[
]
π
π ,
−
oraliqda berilgan funksiya uchun uning Furye qatori
tushunchasini kiritdik. Bunday tushunchani ixtiyoriy [l,l] (l>0) oraliqda berilgan
funksiya uchun ham kiritish mumkin.
f(x) funksiya [l,l] (l>0) da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi
bo’lsin.
23
x
l
t
π
=
(1.8)
Almashtirish bajaramiz, bu almashtirish [l,l] oraliqni
[
]
π
π ,
−
oraliqqa o’tkazadi.
Agar
( )
t
t
l
f
x
f
ϕ
π
=
=
)
(
deb olsak, u holda
( )
t
ϕ
funksiyani
[
]
π
π ,
−
da berilgan va shu oraliqda
integrallanuvchi bo’lishini ko’rish qiyin emas. Bu
( )
t
ϕ
funksiyaning Furye qatori
quyidagicha bo’ladi:
( ) ( )
(
)
∑
∞
=
+
+
=
1
0
sin
cos
2
;
~
n
n
n
nt
b
nt
a
a
t
T
t
ϕ
ϕ
,
bu yerda
( )
ntdt
t
a
n
cos
1
∫
−
=
π
π
ϕ
π
(
)
,...
2
,
1
,
0
=
n
,
( )
∫
−
=
π
π
ϕ
π
ntdt
t
b
n
sin
1
(
)
,...
3
,
2
,
1
=
n
.
Yuqoridagi (1.8) tenglikni e’tiborga olsak, u holda
∑
∞
=
+
+
1
0
sin
cos
2
~
n
n
n
x
l
n
b
x
l
n
a
a
x
l
π
π
π
ϕ
bo’lib, uning koeffisientlari qo’yidagicha:
xdx
l
n
x
l
l
a
l
l
n
π
π
ϕ
cos
1
∫
−
=
(
)
,...
2
,
1
,
0
=
n
,
xdx
l
n
x
l
l
b
l
l
n
π
π
ϕ
sin
1
∫
−
=
(
)
,...
3
,
2
,
1
=
n
bo’ladi.
Natijada
24
( )
∑
∞
=
+
+
1
0
sin
cos
2
~
n
n
n
l
x
n
b
l
x
n
a
a
x
f
π
π
(1.9)
ga ega bo’lamiz, bu yerda
dx
l
x
n
x
f
l
a
l
l
n
π
cos
)
(
1
∫
−
=
(
)
,...
2
,
1
,
0
=
n
,
∫
−
=
l
l
n
dx
l
x
n
x
f
l
b
π
sin
)
(
1
(
)
,...
3
,
2
,
1
=
n
. (1.10)
(1.9) ning o’ng tomonidagi trigonometrik qatorni [-l,l] da berilgan f(x) ning
Furye qatori deyiladi, (1.10) Furye koeffisientlari deyiladi.
Misol.Ushbu
x
e
x
f
=
)
(
(
)
1
1
≤
≤
−
x
funksiyaning Furye qatori yozilsin.
(1.10) formulalardan foydalanib berilgan funksiyaning Furye
koeffisientlarini topamiz (bunda l=1)
∫
−
−
−
=
=
1
1
1
0
e
e
dx
e
a
x
,
∫
−
+
−
=
+
+
=
=
1
1
1
1
2
2
1
cos
sin
cos
x
x
n
e
n
x
n
x
n
n
dx
n
e
a
π
π
π
π
π
(
)
( )
2
2
1
1
2
2
1
1
cos
cos
1
1
π
π
π
π
n
e
e
n
e
n
e
n
n
+
−
−
=
−
+
=
−
−
(
)
,...
2
,
1
=
n
,
∫
−
+
−
=
+
−
=
=
1
1
1
1
2
2
1
cos
sin
sin
x
x
n
e
n
x
n
n
x
n
xdx
n
e
b
π
π
π
π
π
(
)
(
)
=
−
+
=
+
+
=
−
−
e
e
n
n
n
n
n
e
n
en
n
1
2
2
1
2
2
1
cos
cos
cos
1
1
π
π
π
π
π
π
π
π
( )
(
)
( )
π
π
π
π
n
n
e
e
e
e
n
n
n
n
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
+
−
−
=
−
+
−
=
−
+
−
(
)
,...
3
,
2
,
1
=
n
25
Demak,
x
e
x
f
=
)
(
funksiyaning
(
)
1
1
≤
≤
−
x
Furye qatori ushbu
(
)
( )
( )
∑
∞
=
+
−
−
+
−
+
+
−
−
+
−
1
2
2
1
2
2
1
1
sin
1
1
cos
1
1
2
~
n
n
n
x
x
n
n
n
x
n
n
e
e
e
e
e
π
π
π
π
π
ko’rinishda bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |