Namangan davlat universiteti fizika matematika fakulteti matematika kafedrasi
Juft va toq funksiyalarning Furye qatorlari
Download 427,06 Kb. Pdf ko'rish
|
furye integralining tor tebranishida qollanilishi.
- Bu sahifa navigatsiya:
- [-l,l] oraliqda berilgan funksiyaning Furye qatori.
|
Juft va toq funksiyalarning Furye qatorlari birmuncha sodda ko’rinishga ega bo’ladi, ya’ni f(x) funksiya [ ] π π , − da berilgan juft funksiya bo’lsin. U shu [ ]
π , −
oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda f(x)cosnx juft funksiya, f(x)sinnx (n=1,2,…) esa toq funksiya bo’ladi va ular [ ] π π , − da integrallanuvchi bo’ladi. (1.2) formulalardan foydalanib, f(x) funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz:
= + = = ∫ ∫ ∫ − − π π π π π π 0 0 cos ) ( cos ) ( 1 cos
) ( 1 nxdx x f nxdx x f nx x f a n
21
∫ =
π 0 cos ) ( 2 nxdx x f
,...) 2 , 1 , 0 ( =
,
= + = = ∫ ∫ ∫ − − π π π π π π 0 0 sin ) ( sin ) ( 1 sin
) ( 1 nxdx x f nxdx x f nxdx x f b n
0 sin ) ( sin ) ( 1 0 0 = + − = ∫ ∫
π π nxdx x f nxdx x f
,...) 3 , 2 , 1 ( =
. Demak, juft f(x) funksiyaning Furye koeffisientlari
∫ = π π 0 cos ) ( 2 nxdx x f a n
,...) 2 , 1 , 0 ( = n , 0 = n b
,...) 3 , 2 , 1 ( =
(1.6) bo’lib, Furye qatori esa
∑ ∞ = + = 1 0 cos 2 ) ; ( ~ ) ( n n nx a a x f T x f bo’ladi. Endi f(x) funksiya [ ] π π , − da berilgan toq funksiya bo’lsin va u shu [ ]
π , −
oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Bu holda f(x)cosnx toq funksiya, f(x)sinnx (n=1,2,…) esa juft funksiya bo’ladi. (1.2) formulalardan foydalanib, f(x) funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz:
= + = = ∫ ∫ ∫ − − π π π π π π 0 0 cos ) ( cos ) ( 1 cos
) ( 1 nxdx x f nxdx x f nxdx x f a n
0 cos ) ( cos ) ( 1 0 0 = + − = ∫ ∫
π π nxdx x f nxdx x f
,...) 2 , 1 , 0 ( = n ,
= + = = ∫ ∫ ∫ − − π π π π π π 0 0 sin ) ( sin ) ( 1 sin
) ( 1 nxdx x f nxdx x f nxdx x f b n
x nxd x f ∫ = π π 0 sin ) ( 2 ,...)
3 , 2 , 1 ( = n . Demak, toq f(x) funksiyaning Furye koeffisientlari 22 0 = n a
,...) , 2 , 1 , 0 ( = n ,
∫ =
π 0 sin ) ( 2 nxdx x f b n
,...) 3 , 2 , 1 ( =
(1.7) bo’lib, Furye qatori esa
∑ ∞ = = 1 sin ) ; ( ~ ) ( n n nx b x f T x f
bo’ladi. Misol. ) ( ) ( 2 π π ≤ ≤ − =
x x f funksiyaning Furye qatori yozilsin. (1.6) formulalardan foydalanib berilgan funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz:
∫ =
π π π 0 2 2 0 3 2 2
x a ,
∫ ∫ = − = = π π π π π π 0 0 0 2 2 sin 4 sin 2 cos
2 nxdx x n n nx x nxdx x a n
,...)
2 , 1 ( 4 ) 1 ( cos cos 4 2 0 0 = − = + − − = ∫ n n nxdx n nx x n n π π π .
Bundan, 2 ) ( x x f = funksiyaning Furye qatori ushbu ∑ ∞ = − + − − = − + 1 2 2 2 2 2 2 ...) 3 3 cos 2 2 cos (cos
4 3 cos 4 ) 1 ( 3 ~ n n x x x nx n x π π
ko’rinishida bo’ladi.
Biz yuqorida [ ]
π , − oraliqda berilgan funksiya uchun uning Furye qatori tushunchasini kiritdik. Bunday tushunchani ixtiyoriy [l,l] (l>0) oraliqda berilgan funksiya uchun ham kiritish mumkin. f(x) funksiya [l,l] (l>0) da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. 23
x l t π = (1.8) Almashtirish bajaramiz, bu almashtirish [l,l] oraliqni [ ] π π , − oraliqqa o’tkazadi. Agar
( )
= = ) (
deb olsak, u holda ( )
t ϕ funksiyani [ ]
π , − da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lishini ko’rish qiyin emas. Bu ( )
t ϕ funksiyaning Furye qatori quyidagicha bo’ladi:
( ) ( ) (
∑ ∞ = + + = 1 0 sin cos 2 ; ~ n n n nt b nt a a t T t ϕ ϕ , bu yerda ( )
ntdt t a n cos
1 ∫ − = π π ϕ π
( ) ,... 2 , 1 , 0 = n ,
( )
∫ − = π π ϕ π ntdt t b n sin
1
( ) ,... 3 , 2 , 1 = n . Yuqoridagi (1.8) tenglikni e’tiborga olsak, u holda ∑ ∞ = + + 1 0 sin cos 2 ~ n n n x l n b x l n a a x l π π π ϕ
bo’lib, uning koeffisientlari qo’yidagicha: xdx l n x l l a l l n π π ϕ cos
1 ∫ − =
( ) ,... 2 , 1 , 0 = n ,
xdx l n x l l b l l n π π ϕ sin
1 ∫ − =
( )
3 , 2 , 1 = n
bo’ladi. Natijada 24
( )
∑ ∞ = + + 1 0 sin
cos 2 ~ n n n l x n b l x n a a x f π π (1.9) ga ega bo’lamiz, bu yerda
dx l x n x f l a l l n π cos
) ( 1 ∫ − = ( ) ,... 2 , 1 , 0 = n ,
∫ − = l l n dx l x n x f l b π sin
) ( 1 ( ) ,... 3 , 2 , 1 = n . (1.10) (1.9) ning o’ng tomonidagi trigonometrik qatorni [-l,l] da berilgan f(x) ning Furye qatori deyiladi, (1.10) Furye koeffisientlari deyiladi. Misol.Ushbu
x e x f = ) (
( ) 1 1 ≤ ≤ − x
funksiyaning Furye qatori yozilsin. (1.10) formulalardan foydalanib berilgan funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz (bunda l=1)
∫ − − − = = 1 1 1 0
e dx e a x ,
∫ − + − = + + = = 1 1 1 1 2 2 1 cos
sin cos
x x n e n x n x n n dx n e a π π π π π
( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 1 cos cos
1 1
π π π n e e n e n e n n + − − = − + = − −
( ) ,... 2 , 1 = n ,
∫ − + − = + − = = 1 1 1 1 2 2 1 cos sin sin
x x n e n x n n x n xdx n e b π π π π π
( ) ( ) = − + = + + = − − e e n n n n n e n en n 1 2 2 1 2 2 1 cos cos cos
1 1
π π π π π π π
( ) ( ) ( ) π π π π n n e e e e n n n n 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 + − − = − + − = − + −
( ) ,... 3 , 2 , 1 = n
25 Demak, x e x f = ) ( funksiyaning ( )
1 ≤ ≤ − x Furye qatori ushbu
( ) ( ) ( ) ∑ ∞ = + − − + − + + − − + − 1 2 2 1 2 2 1 1 sin 1 1 cos 1 1 2 ~ n n n x x n n n x n n e e e e e π π π π π
ko’rinishda bo’ladi. Download 427,06 Kb. Do'stlaringiz bilan baham:
|
Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha
yuklab olish