Найти наибольшее и

ЦИИ у =( )Z/3 +) .
х-1
Используя рассуждения, приведенные в предыдущем примере, получаем, что в точке (х, у), в которой достигается максимальная по­ лезность, линия уровня касается прямой 8х + 16у = 1ООО, или х + 2у = 125. Значит, градиент функции полезности должен быть пер­ пендикулярен этой линии. Градиент функции полезности имеет вид
₍_2_; -³ - ) . Угловой коэффициент прямой k_ = _!_. Используя ус-
х-1 у-1 2

• 
  з(х-1)
  

ловие перпендикулярности прямых, имеем: -( --) = 2 , или Зх - 4у =
2 у-1
= -1. Следовательно, оптимальное распределение потребления това­ ров находится как решение системы:

_{ х+ 2у = 125,
3х-4у=-1,
т.е. х = 49,5; у= 37,75^►.

Найти значения величин используемых ресурсов (х, у), при кото­ рых фирма-производитель получит максимальную прибыль, если за­ даны производственная функция К(х, у) и цены Р1 и pz на единицу первого и второго ресурсов:

107. 
     
     
     
     ^{К(х,у) = зo xify;} Р1 =4,
     

107. 
     К(х,у) = IO½if;;
     

Р1 =2,
2
Р2 =-.
3

Заданы производственная функция, цены на единицу первого и второго ресурсов, а также ограничения / в сумме, которая может быть потрачена на приобретение ресурсов (сумма /). Найти значения ве­ личин используемых ресурсов (х, у), при которых фирма­ производитель получит наибольшую прибыль:
15.112. К(х,у)=1o xify; Р1 = 2, Р2 = 4, 1 = 12.
15.113. К(х,у) = 24Vxif;; Р1 =27,р2=4, 1=6.
Потребитель имеет возможность потратить сумму 1ООО ден. ед. на приобретение х единиц первого товара и у единиц второго товара. За­ ^{даны функция полезности U(x, у) и цены р 1, р 2 за единицу соответст­} венно первого и второго товаров. Найти значения (х, у), при которых полезность для потребителя будет наибольшей:

^{15.114. И= 0,5 ln(x - 2) + 2ln(y- 1); р}1 ^{= 0,2,}
15.115. U = 2(x - 1)¹¹⁴ + (y - 1)¹¹³; р1 =2,
Р2 =4.
Р2 = 3.

Идентифицированы функция издержек С (х), а также функция К(р, х) - количество реализованного товара при установленной цене за едини­ ^{цу, равной р (р > р0). Найти оптимальные значениях и р для монопо­} листа-производителя:

15.116. С(х) = +..!_х+_!_хз
8 2 12
К(х,р) =
х
l+(p-


₂ •

Ро)

15.117. С (х) = 10 + х² ; К(х,р) = .
i+L
16

118. 
     Решить задачу 15.108 с помощью функции Лагранжа.
     
119. 
     Функция полезности имеет вид:
     

U(x,y) =
1
ln(x-1) +-ln(y-2),
4

где х, у - количества приобретенных единиц 1-ro и 2-ro блага. Найти частные эластичности функции полезности по переменным х и у и пояснить их смысл.

118. 
     Полезность от приобретениях единиц 1-ro блага и у еди­ ниц 2-ro блага имеет вид U(x, у)= ln х + ln 2у. Единица 1-ro блага сто­ ит 2 усл. ед., а 2-ro - 3 усл. ед. На приобретение этих благ планиру­ ется потратить 100 усл. ед. Как следует распределить эту сумму, что­ бы полезность была наибольшей?
     

Задачи для повторения

118. 
     Найти область определения функции
     

ln (l - x -/)
2
z = -'---,,,,--;.-
1 - Jy
Найти линии уровня функций:
15.122. z = -^t"^g--⁽-^x-^-'-^/-⁾-. 15.123. z = хУ.
х
Найти пределы функций:

15.124.
15.126.
lim = -
х О е:ху -1
у О

l
. х⁴ + у⁴
1m '--.
х О Х2 + у2
у О
х4+ 4
15.125. lim ₂ у ₂ .
 
x I Х + у
у - 1

Найти частные производные функций:
1
15.127. ^{z = (lnx)Y.} 15.128. z = sin(xarcsiny).
Найти производные функции по заданному направлению:

129. 
     z =
     

х
по направлению, параллельному прямой у= 2х.

129. 
     z = -^lnx - -^lny
     

у х
в направлении вектора (1; 1).

129. 
     Найти модуль градиента функции z = arc tg (x³ + у⁴ ) в точ­ ке (1; 1).
     
130. 
     При каких k > О градиент функции z = (2х + ky)² перпен­
     

дикулярен прямой х +у= 2.
Найти критические точки функций:

15.133. z = е _х²- у - е _х² +у + у- у2.
15.134. z =
х+2у
.

 

Исследовать на экстремум функции:
15.135. z= х² +2/-4х-6у+2.
15.136. z = х² - 2у² -4х-7у+2.
х² +2у ²

137. 
     Исследовать на условный экстремум функцию z = 2х + 3 у
     

при условии (х - 1)² + у2 = 13.

137. 
     
     7
     При каких значениях а, Ь сумма корней уравнения
     

2 а-+ а 2 .
х +(а+2Ь)х+--+аЬ-Ь+2Ь -1=0 максимальна?
2

137. 
     Найти минимальное значение функции z = 2х + 3у на
     

множестве, задаваемом неравенством у - 2х² О.

137. 
     Имеются следующие данные о переменных х и у:
     

1 ;; 1- о I з о 18 0 l 1g,o l 1;,o 1
Предполагая что между х и у существует линейная зависимость, найти ее вид методом наименьших квадратов.

137. 
     Имеются следующие экспериментальные данные о коли­ честве единиц произведенной продукции и издержках (тыс. усл.е_д.):
     

100 200 300 400 ⁵⁰⁰
11,0 24,0 40,0 60,0 ^75,0
Функция издержек ищется в виде S = ах + Ьх² • Найти значения а
и Ь методом наименьших квадратов.

137. 
     Вычислить интеграл
     

Jf+ y)dxdy,
D
где D - область, ограниченная параболой х² + у = 2, прямой х - у = О и осью ординат.