На тему: «Векторное произведение»

Решение.
По	второму	определению	векторное	произведение	двух	векторов	в

координатах записывается как:
К такому же результату мы бы пришли, если бы векторное произведение записали через определитель
Ответ:
.
Пример.
Найдите

где Решение.

- орты прямоугольной декартовой системы координат.

в

заданной

прямоугольной

системе

найдем

координаты

векторного
Сначала
произведения координат.
Так как векторы и имеют
координаты и соответственно (при необходимости смотрите
второму определению векторного произведения имеем
То есть, векторное произведение имеет
координаты в заданной системе координат.
Длину векторного произведения находим как корень квадратный из суммы квадратов его координат (эту формулу длины вектора мы получили в
Ответ:
.
Пример.

, то есть, его

, то оно по

и

и к Найдем

перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4.

и
В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех
точек . Найдите какой-нибудь вектор,

перпендикулярный Решение.

и

одновременно.

Векторы и имеют координаты и соответственно
Если найти векторное произведение векторов
определению является вектором, перпендикулярным и к является решением нашей задачи.
Ответ:
- один из перпендикулярных векторов. В задачах третьего типа проверяется навык использования свойств векторного произведения векторов. После применения свойств, применяются соответствующие формулы.
Пример.
Векторы

Найдите длину векторного произведения Решение.

.

.

как

векторное

произведение

. антикоммутативно,

,

и

нулю,

так

равны

и

произведения
По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать
В силу сочетательного свойства вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении:
Векторные
как
тогда Так

то Итак,

с

помощью

свойств

векторного

произведения

. мы

пришли

к

равенству

. То есть, у нас есть все данные для нахождения требуемой длины

перпендикулярны, то есть угол между ними

и
По условию векторы
равен
Ответ:
.
2. Правые и левые тройки векторов в трехмерном пространстве
Нахождение направления векторного произведения с помощью
правила правой руки
Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов в трѐхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке (то есть выберем произвольно в пространстве точку и параллельно перенесѐм каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой ). Концы векторов, совмещѐнных началами в точке , не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны. Рассмотрим плоскость - единственную плоскость, проходящую через концы векторов, совмещѐнных началами в точке . Тогда можно в плоскости провести через концы векторов , совмещѐнных началами в точке , единственную окружность и выяснить направление обхода трѐх точек на окружности, смотря на неѐ с одной из сторон от плоскости.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов в трѐхмерном пространстве называется правой, если наблюдателю, находящемуся по одну сторону с точкой от плоскости , обход концов приведѐнных в общее начало векторов в указанном порядке кажется совершающимся в плоскости по часовой стрелке. В этом случае наблюдателю, находящийся с
другой стороны от плоскости , обход концов таких векторов будет казаться совершающимся против часовой стрелки.
B противном случае — левая тройка.
Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берѐтся название.
Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
Заметим, что для двух данных векторов рассматриваемого пространства определения «правой» и «левой» тройки векторов не зависят от хиральности рассматриваемой системы координат; более того, они вообще не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого само векторное произведение.

1 в

условия

из

вытекает
3. Свойства
3.1 Основные геометрические свойства векторного произведения
3.1.1 Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда,
когда векторы a и b - коллинеарные. Доказательство: Из определения векторного произведения получим,
что тогда и только тогда, когда , или , или . Из
последнего равенства получим, что или , в этом случае векторы
a и b коллинеарны. Вспомнив, что нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, получим, что предложение верно и при a или b, равных нулю. векторный произведение геометрический алгебраический
3.1.2 Площадь параллелограмма, сторонами которого служат векторы a и b, равна модулю их векторного произведения,
Доказательство естественным образом
определении векторного произведения.

3.1.3 Если		— единичный вектор, ортогональный векторам						и	и
выбранный	так,	что	тройка	—	правая,	а	—	площадь

параллелограмма, построенного на них (приведѐнных к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

вектор

Пусть

или

возможности:

две

формулировке:

другой

если изменить порядок

.

3.1.4 Если	— какой-нибудь вектор,			— любая плоскость,
содержащая этот вектор,		— единичный вектор, лежащий в плоскости				и
ортогональный к ,	— единичный вектор, ортогональный к плоскости				и
направленный так, что тройка векторов			является правой, то для любого
лежащего в плоскости	вектора справедлива формула:

3.1.5 При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объѐм параллелепипеда, построенного на приведѐнных к общему началу векторах a, b и c. Такое произведение трех векторов называется смешанным.
3.2. Основные алгебраические свойства векторного произведения
3.2.1 Векторное произведение антикоммутативно, то есть
(в
сомножителей, то векторное произведение меняет направление на
противоположное; антикоммутативность).
Доказательство: Пусть , . Нужно показать, что
. Из условия 1 следует, что . Если , то очевидно, что
. Если , то векторы c и d -- коллинеарны, так как оба лежат на
прямой, ортогональной плоскости векторов a и b. Таким образом, остаются
только
совпадает с вектором . Тогда в силу условия 3 из конца одного и

(свойство ассоциативности относительно
того же вектора и поворот от a к b, и поворот от b к a по кратчайшему направлению виден против часовой стрелки, что невозможно.
Следовательно, .
3.2.2 Для любых векторов a и b и любого числа выполняется
равенство
умножения на скаляр).