N. R. Yusupbekov, D. P. Muxitdinov texnologik jarayonlarni modellashtirish va

Moddaning kelishi — Moddaning sarflanishi

 

(2.85) 

Yoki

Fdx—  = uFC + D ,F— {C + —  Ax) -  uF{C + —  Ax ) - D ,F —   (2.86) 

dt 

dx 

dx 

dx 

dx

Oxirgi  tenglamani  o'zgartirgan  holda  Ax->0  limitga  o ‘tib, 

quyidagini olamiz:

8 8

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

(2.87)

dC  D  djC  ^dC 

dt 

1  dx2 

dx

u  

f

  c

2.12-rasm. Diffuzion modeli 

2.13-rasm. Apparatning 

tenglamasini chiqarishga oid. 

chap chegarasidagi oqimlar

sxemasi.

(2.87)  tenglama  diffuziyali  modelning  asosiy  tenglamasidir. 

(2.87)  tenglama  uchun  boshlang‘ich  va  chegaraviy  shartlariga 

to‘xtalib  o‘tamiz.  Ko‘rinib  turibdiki,  bitta  boshlang‘ich  va  ikkita 

chegaraviy  shartlar  berilishi  kerak.  Boshlang‘ich  shart  sifatida 

odatda  vaqtning  boshlang‘ich  momentida  apparat  bo‘yicha 

konsentratsiyalar profili beriladi:

f = O da 5(0,x) = Ct (x). 

(2.88)

Chegaraviy shartlar  apparatning chegaralaridagi  material  balans 

shartlaridan  (Dankverts  bo‘yicha  shartlar)  kelib  chiqib  berilishi 

mumkin.  Apparatning  oqim  qandaydir  o ‘rtacha  tezlik  bilan 

krlatligan chap chegarasini ko‘rib chiqamiz (2.13-rasm).

8 9

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

., dc 

4

“'th  '

^  UCc/tUf

UC  "

-------------

2,14-rasm. Apparatning o‘ng chegarasidagi oqimlar sxemasi.

x = 0 

chegaraga 

yaqinlashayotgan 

modda 

oqimlarining 

yig‘indisi  chegaradan  chiqayotgan  moddaning oqimiga teng bo‘lishi 

kerak.  Unda quyidagini olamiz:

yoki

+ A

dC

ax

-  uC

(2.89)

M(Q/r  C) + A

dC

dx

■

 0.

(2.90)

Apparatning o ‘ng chegarasi uchun  (2.14-rasm) quyidagi  ifodaga 

egamiz:

J/'-T

uC = uCchKI+D ,— . 

(2.91)

Amalda ko‘pincha  C«Cl%  deb qabui  qilinadi.  Buni  hisobga olib 

(2.91) chegaraviy shart quyidagi ko‘rinishni  oladi:

dC_

dx

=  

0

.

(2.92)

(2.90),  (2.92)  shartlar  Dankverts  bo ‘yicha  chegaraviy  shartlar 

deb ataladi.

Ko‘rilgan  bir  parametrli  diffuziyali  model  bilan  bir  qatorda 

gohida  ikki  parametrii  diffuziyali  model  ham  ishlatiladi.  Uning farqi 

shundaki,  oqimning  aralashtirilishi  nafaqat  bo‘ylama,  balki  radial 

yo‘nalishida  hisobga  olinadi.  Shunday  qilib,  ikki  parametrli

9 0

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

diffuziyali  model  ikki  parametr  bilan  tavsiflanadi:  bo‘ylama D/  va 

radial  Dr.  aralashtirish  koeffitsiyentlari.  Bo'ylarna  va  radial 

aralashtirish  koeffitsiyentlari  apparatning  uzunligi  va  kesimi 

bo‘yicha o ‘zgarmaydi  deb qabul  qilinadi.  Silindrik  shaklli  apparatda 

oqimning  harakati  bir  o ‘lchamli  va  o‘rtacha  tezligi  u  uzunlik  va 

kesim  bo‘yicha  o'zgarmas  bo‘lganda  diffuziyali  modelning  ikki 

parametrli tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega:

dC 

dC 

n  d 2C  Dr  d  .  dC. 

—  + u —  = D,— r +  

— (?■——)

dt 

dx 

‘  dx' 

r  dr 

dr

(2.93)

Agar  boshlang‘ich  va  chegaraviy  shartlar  quyidagi  ko‘rinishda 

berilgan bo‘lsa

S(0,x,r) = 0  t = 0  da,

(2.94)

0,  C(r,0,0) = C05(O)  x = 0  da,

(2.95)

r  R  da  dCV’x’R) - 0

(2.96)

dr

x = 0  da  uC (t,0,r)-D l dC^ ,° ’^- = 0

dx

(2.97)

x  l  da  rfC(' , / , r ) - 0

(2.98)

dx

unda  ikki  parametrli  diffuziyali  model  tenglamasining  yechimi 

quyidagicha bo‘ladi:

C ( z ,  

p ,0 ) = S ----- 'h + ,P Y

♦

kn H" D„ / 2

_ l _ _ o ---------- a—

e

K - D J 2

2DZ

-A'l)

(2.99)

Bu  yerda  z = x ! l \   p  = r /R ;  6 = t / t ;  t = l/u ;  D .= D ,i/l;  Jo 

birinchi  turdagi  nolinchi  tartibli  Bessel  funksiyasi;  Xn  -   birinchi

91

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

turdagi -  birinchi  tartibli  Bessel  funksiyasining  ildizi;  k0  ildiz

k

e

1/2 Dr +k 

M2D, - k

tenglamani qanoatlantiradi; R -  apparatning radiusi.

Ikki  parametrli  diffuziyali model  uzunligining diametrga  nisbati 

katta  bo‘lmagan  va  oqimlar tezligining  ko'ndalang  notekisligi  katta 

bo‘lgan  kolonna  tipidagi  apparatlarda  qo‘llaniladi.  Yechilishining 

murakkabligi  tufayli  bunday  model  bir parametrliga  nisbatan  ancha 

kam  ishlatiladi,  shuning  uchun  keyinchalik  faqat  bir  parametrli 

diffuziyali modellarni ko‘rib chiqamiz.

Diffuziyali  modelning  oMchamsiz  yozilish  shakli.  Quyidagi 

o ‘lchamsiz o‘zgaruvchilami  kiritamiz:

z -  x/1,

(2.100)

II

(2.101)

va (2.87) tenglamani quyidagi ko‘rinishda ifodalaymiz:

t  dC + u ^ dC 

D, j2 d 2C 

t  dt 

l  dx 

l2 

dx2

(2.102)

Kiritilgan o‘zgaruvchilami hisobga olib, quyidagini olamiz:

1  dC  u d C  

D,  d 2C

t  d6 

l  dz 

l 2  dz2

(2.103)

yoki

ul  dC 

ul  dC _ d 2C

D'  dd + D,  dz  ~  dz2  ‘

(2.104)

(2.104)  tenglamaning  chap  qismidagi  ko‘paytuvchi  (ul)/D , 

Pekle  (Re)  o‘lchamsiz  sonni  ifoda  etadi.  Unda  oxirgi  tenglamani 

quyidagi  ko‘rinishda yozishimiz mumkin:

Pe

dC_

d6

+ Pe

dC

dz

d 2C

dz2

(2.105)

9 2

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

(2.91),  (2.92)  chegaraviy  shartlarni  o ‘lchamsiz  shaklga

keltiramiz va quyidagilarni olamiz:

z = 0  da  (Ckl 

+ 

-  0 

(2.106)

Pe  dz

z = 1  da  —  = 0 

(2.107)

dz

Impulsli  va pog‘onali g‘alayonlarga diffuziyali modelning javob 

funksiyasi.  Avval  impulsli  g‘a!ayonga  diffiiziyali  modelning javob 

funksiyasini ko‘rib chiqamiz.

Foydalanilayotgan  chegara  shartlaridan  kelib  chiqib,  cheksiz, 

yarim  cheksiz  apparatlar  va  cheklangan  uzunlikdagi  apparatlar 

uchun  yechimlar olingan.

Oxirgi  holatda  yechim  cheksiz  sekin  yaqinlashayotgan  qator 

ko‘rinishida ifodalanadi:

c(«)=Z

2 A; exp(--;

Pe

Pe0 - A l 4 0 ) 

4 

'  Pe

( I + ~ H s i n 2 ^ -

T + 

( ? ) 2 

4 

4

-2

(2.108)

c o s 

2X,

bunda,  2  -  transendent tenglamalarning ildizlari

2 t g 2 =T   (/ = 1’3A - ); 

(2' 109)

^ c t g ^  = - ? f   (/ = 2,4,6,...). 

(2.110)

z 

z 

4

(2.15-rasnida bu tenglamalar grafiklari  ko‘rsatilgan). 

v  >  0,01  va  Pe  <  10  sohada  (2.108)  ni  yechimi  qoniqarli 

natijalami 

beradi. 

Ko‘rsatilgan 

limitlardan 

tashqarida 

approksimatsiyalangan  yechimdan  foydalanish  kerak  (2.16  va  2.17 

rasmlar).

9 3

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

2.15-rasm. (2.109), (2.110) transendent tenglamalar 

ildizlarining grafik talqini.

2.16-rasm. Diffuziyali model uchun impulsli g'alayonga javob.

9 4

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

C(t)

c u o

2.17-rasm. Diffuziyali model uchun pog'onali g‘alayonga javob.

Endi  pog‘onali  g‘alayonga javob  fiinksyasini  ko‘rib  chiqamiz. 

Chekli  o ‘lchamli  apparat  uchun  Dankverts  chegaraviy  shartlariga 

muvofiq keluvchi javob  funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega:

Pe  -   ( - i) '+1^ ( ------p  A   0)

F(6) = \-2 P e - e x p ( - ^ ) £ -------—2------------------- ■

 

(2-111)

2  -=i  f t2  Pe 

„

(2,  + —- ) ( 'l   + ~ r   I e )

4 

4

Oldingi  holdagidek,  (2.111)  tenglamaning  yechimi  sekin 

yaqinlashayotgan  qator  ko‘rinishga  ega.  Qoniqarli  yechimga 

0 >0,01  va  Pe< 10  sohada  erishish  mumkin.  X—  qiymatlar  (2.109), 

(2.110) tenglamalarning  ildizlaridir.

Diffuziyali  modelning  uzatish  funksiyasi.  Diffuziyali  model- 

ning  uzatish  funksiyasini  olish  uchun  boshlang‘ich  modelga 

((2.105),  (2.106),  (2.107)  tenglamalari)  Laplas  o‘zgartirishini  q o i- 

laymiz. Bunda, impulsli g‘alayon sodir boimoqda deb taxmin qilamiz.

Natijada quyidagiga ega boiam iz:

PepC + Pe —  = ^ -  

(2.112)

dz 

dz

yoki

9 5

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

(2.113)

Chegaraviy  shartlar  mos  ravishda  quyidagi  ko‘rinishlarda 

yoziladi:

Vaqt  bo‘yicha  yig‘ishtirilgan  (2.113)  diffuziyali  modelning 

tenglamasi  ikkinchi  tartibli  chiziqli  bir jinsli  differensial  tenglamani 

ifodalaydi.  Uni  Laplas  bo‘yicha  o‘zgartirilib  C{p),  izlanayotgan 

konsentratsiyaga  nisbatan  yechamiz.  Xarakteristik  tenglamani 

yozamiz

z = 0  da  1 -C  + — —  = 0, 

Pe  dz

(2.114)

(2.115)

dz

k 2 -  Pek -  Pep -  0.

(2.116)

Xarakteristik tenglamaning  ildizlari  quyidagicha:

(2.117)

Bundan,  quyidagilami belgilab,

(2.119)

(2.118)

quyidagi  ifodalarni olamiz:

kx = /3 +a,

(

2120

)

kx= P ~ a ,

(

2

.

121

)

96

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

I )i‘innk,  (2.113)  tenglamaning  umumiy  yechimi  quyidagi 

koh'iniNliga ega:

C = Axek'z + A2eklZ = Axe{p+a)z + Axe(P~a)z 

(2.122)

(2.1  14),(2.115)  chegaraviy  shartlardan  foydalanib,  Ax  va  A2,

dC

konslantalarni  baholaymiz.  Oldin  —   hosilaning qiymatini topamiz:

dz

dC

dz

= Ax(f3 + a)e{P+a)z + A2(/3 - a ) e (p-a)z.

(2.123)

2  

= 

0

  da  birinchi  chegaraviy  shart  bo‘yicha  quyidagi  kelib 

chiqadi:

1

  At - A 2 

i

 

L ( A x(j3 + a) + A2(/3 -a )) = 0, 

(2.124)

rc

Bundan  a = ^/^  deb  faraz qilib,  quyidagi  ifodaga ega bo‘Iamiz:

1 -  At -  A2 + A{ i ( l  + a) + A2 i ( l  - a )  = 0. 

(2.125)

Ikkinchi  chegaraviy  shartga  muvofiq  z = l  da  quyidagi  kelib 

chiqadi:

/

1,(1

 + a)eiP+a) +A2( 

1

 -  a)eip-a) = 

0

. 

(2.126)

(2.126) tcnglamadan A]  konstantani aniqlaymiz:

( u - l i ^

A \  ~  

,

 

.  ,, 

a  

A 2 ■

(2.127)

(a + \)ea

uni  (2.125) tenglamaga qo‘yib, quyidagi ifodaga ega boMamiz:

97

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

bu yerda

1  +

1(a  1)1 e~2aA2  A , \ a  +1)-0. 

2

(o + l) 

2

 

2

 

2

 V

 

2

(2.128)

2(a + \)ea

2

  ~ (a + \)2ea- ( a - \ f e - a '

(2.129)

(2.129) ni (2.127) ga qo'yib,