N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov


Tekislikdagi egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash



Download 0,98 Mb.
bet46/58
Sana26.01.2020
Hajmi0,98 Mb.
#37115
1   ...   42   43   44   45   46   47   48   49   ...   58
Bog'liq
INTEGRAL-HISOB


Tekislikdagi egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash. Maktab geometriyasida tekislikdagi egri chiziqlardan faqat aylana va uning yoylari uzunligini hisoblash formulasi beriladi. Parabola, giperbola, sinusoida kabi egri chiziqlarning turli yoylari uzunligini hisoblash masalasi amaliyotda kerak bo‘ladi. Bu masala ham aniq integral yordamida o‘z yechimini topadi.

у=f(x), x[a,b], funksiya bilan berilgan egri chiziqning AB yoyi uzunligini topish masalasini qaraymiz (78-rasmga qarang).


78-rasm

Bunda f(x) differensiallanuvchi va uning f′(x) hosilasi [a,b] kesmada uzluksiz deb hisoblaymiz. Berilgan [а,b] kesmani



а=х0 <х1<х2< ∙∙∙<хi-1<хi< ∙∙∙<xn=b

nuqtalar bilan ixtiyoriy n bo‘lakka ajratamiz. Natijada AB yoy n ta kichik Ai–1 Ai (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalarga ajraladi.


Agar AB yoy uzunligi l va Ai–1 Ai (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalar uzunliklari Δli deb olsak, unda

deb yozish mumkin. Endi kichik Ai–1 Ai (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalarni ularning vatari , ya’ni Ai–1Ai kesmalar bilan almashtiramiz. To‘g‘ri burchakli Ai–1AiD uchburchakda

|Ai–1D|= xi –xi–1 xi , |AiD|=f(xi)–f(xi–1)=Δ f(xi)

katetlar bo‘yicha Ai–1Ai gipotenuza uzumligini Pifagor teoremasidan foydalanib topamiz:



.

Bu yerda Δli |Ai–1Ai| deb, izlanayotgan yoy uzunligi l uchun ushbu taqribiy tenglikni hosil etamiz:



.

Bu taqribiy tenglikdan aniq tenglikka o‘tish uchun n→∞, Δn→0 deb olamiz. Bu holda, hosila ta’rifiga asosan,



deb olish mumkin. Shu sababli yuqoridagi Ln yig‘indini funksiya uchun [a,b] kesma bo‘yicha integral yig‘indi deb qarash mumkin. Unda, aniq integral ta’rifiga asosan, izlanayotgan yoy uzunligi l uchun quyidagi formulani hosil etamiz:



. (6)

Misol sifatida y=lnsinx egri chiziqning x=π/3 va x=π/2 abssissali nuqtalari orasidagi yoyining uzunligini topamiz. Bunda y′=ctgx ekanligidan va universal almashtirmadan foydalanib, (6) formulaga asosan, ushbu natijani olamiz:





.

Agar egri chiziq x=φ(t) , y=ψ(t) ( t[α, β]) parametrik tenglamasi bilan berilgan bo‘lsa, unda dx= φ′(t)dt , dy= ψ′(t)dt va



bo‘lgani uchun (6) formula quyidagi ko‘rinishga keladi:



. (7)

Misol sifatida x=etcost , y=etsint (t[0,lnπ]) parametrik tenglamasi bilan berilgan egri chiziq yoyi uzunligini topamiz. Bunda



x′=φ′(t)= et(cost–sint) , y′=ψ′(t)= et(cost+sint)

bo‘lgani uchun, (7) formulaga asosan, quyidagi javobga ega bo‘lamiz:



.

    1. Download 0,98 Mb.

      Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   42   43   44   45   46   47   48   49   ...   58




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish