N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

Kompleks sonlar haqida tushunchalar. Ratsional funksiyalarni integrallash bo‘yicha keyingi tasdiqlarni ifodalash uchun bizga kompleks son tushunchasi kerak bo‘ladi. i²= –1 yoki tenglik bilan aniqlanadigan i belgi mavhum birlik deb ataladi. Mavhum birlik yordamida manfiy sondan ham kvadrat ildiz olish imkoniyati paydo bo‘ladi. Masalan,

.

Mavhum birlik i va x, y haqiqiy sonlar orqali z=x+yi kabi aniqlanadigan ifodalar kompleks sonlar deyiladi. Bunda y=0 desak, z=x haqiqiy son hosil bo‘ladi, ya’ni kompleks sonlar to‘plami haqiqiy sonlarni o‘z ichiga oladi.

Ikkita z₁=x₁+y₁i, z₂=x₂+y₂i kompleks sonlarning yig‘indisi, ayirmasi va ko‘paytmasi algebraik ikkihadlar yig‘indisi, ayirmasi va ko‘paytmasi kabi aniqlanadi:

Masalan, z₁=3+4i, z₂=5–2i kompleks sonlar uchun

z₁+z₂=8+2i, z₁–z₂=–2+6i, z₁z₂=23+14i.

Ikkita x+yi va x–yi ko‘rinishdagi kompleks sonlar qo‘shma kompleks sonlar deyiladi. Qo‘shma kompleks sonlar yig‘indisi 2x va ko‘paytmasi x²+y² doimo haqiqiy son bo‘ladi.

Agar x²+px+q=0 kvadrat tenglamaning diskriminanti D=(p/2)²–q<0 bo‘lsa, unda bu tenglama ikkita a±ib ko‘rinishdagi qo‘shma kompleks sonlardan iborat ildizlarga ega bo‘ladi .

Masalan, x²–8x+25=0 kvadrat tenglamada diskriminanti

D=(–4)²–25=–9 va

bo‘lgani uchun, bu tenglamaning ildizlari x₁=4–3i va x₂=4+3i qo‘shma kompleks sonlardan iborat ekanligi kelib chiqadi.

4. 
   Ratsional funksiyalarni integrallash. Endi umumiy holda R(x)=Q_m(x)/P_n(x) to‘g‘ri ratsional kasrni integrallash masalasi ustida qisqacha to‘xtalib o‘tamiz. Bunda “Oliy algebra” fanida ko‘riladigan va isbotlanadigan bir qator teoremalarni isbotsiz keltiramiz. Ularning orasida ushbu teorema asosiy vazifani bajaradi:
   

1-TEOREMA: Har qanday (2) ko‘rinishdagi R(x) to‘g‘ri ratsional kasrni

(6)

ko‘rinishda yozish mumkin. Bunda R_k(x) I–IV turdagi eng sodda ratsional kasrlar, ularning umumiy soni r≤n bo‘ladi.

Demak, har qanday to‘g‘ri ratsional kasrni eng sodda ratsional kasrlarning (4) chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida yozish mumkin. Kelgusida (6) tenglikni R(x) ratsional kasrning yoyilmasi deb yuritamiz.

Masalan, ushbu ratsional kasrlar uchun

(7)

(8)

yoyilmalar o‘rinli ekanligini bevosita tekshirib ko‘rish mumkin.

1-teoremadan har qanday R(x)=Q_m(x)/P_n(x) ratsional kasr, eng sodda ratsional kasrlarning yig‘indisi sifatida, elementar funksiyalarda integrallanuvchi va uning integrali logarifmik, arktangens hamda ratsional funksiyalar orqali ifodalanishi kelib chiqadi. Ammo bu integralni hisoblash uchun bizga ratsional kasrning (6) yoyilmasi kerak bo‘ladi. Shu sababli R(x)=Q_m(x)/P_n(x) ratsional kasrning (6) yoyilmasini topish masalasini qaraymiz.

Dastlab (4) yoyilmada qatnashadigan eng sodda R_k(x) kasrlarning turi va soni qanday aniqlanishini ko‘ramiz. Bu savolga javob maxrajining nollari, ya’ni

P_n(x)=0 (9)

algebraik tenglamaning ildizlari yordamida topiladi. Shu sababli (9) algebraik tenglamaning ildizlari to‘g‘risidagi ayrim ma’lumotlarni va ulardan kelib chiqadigan natijalarni qisqacha, isbotsiz keltiramiz.

Biror x=a soni (9) tenglamani ayniyatga aylantirsa, ya’ni P_n(a)≡0 bo‘lsa, u shu tenglamaning