N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov


Ratsional funksiyalarni integrallash



Download 0,88 Mb.
bet20/60
Sana16.01.2022
Hajmi0,88 Mb.
#378705
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   60
Bog'liq
N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

Ratsional funksiyalarni integrallash. Endi umumiy holda R(x)=Qm(x)/Pn(x) to‘g‘ri ratsional kasrni integrallash masalasi ustida qisqacha to‘xtalib o‘tamiz. Bunda “Oliy algebra” fanida ko‘riladigan va isbotlanadigan bir qator teoremalarni isbotsiz keltiramiz. Ularning orasida ushbu teorema asosiy vazifani bajaradi:

1-TEOREMA: Har qanday (2) ko‘rinishdagi R(x) to‘g‘ri ratsional kasrni

(6)

ko‘rinishda yozish mumkin. Bunda Rk(x) I–IV turdagi eng sodda ratsional kasrlar, ularning umumiy soni rn bo‘ladi.

Demak, har qanday to‘g‘ri ratsional kasrni eng sodda ratsional kasrlarning (4) chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida yozish mumkin. Kelgusida (6) tenglikni R(x) ratsional kasrning yoyilmasi deb yuritamiz.

Masalan, ushbu ratsional kasrlar uchun



(7)

(8)

yoyilmalar o‘rinli ekanligini bevosita tekshirib ko‘rish mumkin.

1-teoremadan har qanday R(x)=Qm(x)/Pn(x) ratsional kasr, eng sodda ratsional kasrlarning yig‘indisi sifatida, elementar funksiyalarda integrallanuvchi va uning integrali logarifmik, arktangens hamda ratsional funksiyalar orqali ifodalanishi kelib chiqadi. Ammo bu integralni hisoblash uchun bizga ratsional kasrning (6) yoyilmasi kerak bo‘ladi. Shu sababli R(x)=Qm(x)/Pn(x) ratsional kasrning (6) yoyilmasini topish masalasini qaraymiz.

Dastlab (4) yoyilmada qatnashadigan eng sodda Rk(x) kasrlarning turi va soni qanday aniqlanishini ko‘ramiz. Bu savolga javob maxrajining nollari, ya’ni



Pn(x)=0 (9)

algebraik tenglamaning ildizlari yordamida topiladi. Shu sababli (9) algebraik tenglamaning ildizlari to‘g‘risidagi ayrim ma’lumotlarni va ulardan kelib chiqadigan natijalarni qisqacha, isbotsiz keltiramiz.

Biror x=a soni (9) tenglamani ayniyatga aylantirsa, ya’ni Pn(a)≡0 bo‘lsa, u shu tenglamaning ildizi deyiladi. Masalan, x=–1 soni

(10)

tenglamaning ildizi bo‘ladi, chunki P3(–1)=(–1)3+3∙(–1)2+4∙(–1)+2≡0.

(9) tenglama uchun x=a ildiz bo‘lib, shart bajarilsa, unda x=a bu tenglamaning oddiy ildizi deyiladi. Bu holda (9) tenglamani chap tomonidagi ko‘phadni Pn(x)=(x–a)Ln–1(x) ko‘paytma ko‘rinishda ifodalab bo‘ladi. Bu tenglikda Ln–1(x) ko‘paytuvchi biror (n–1)- darajali ko‘phad bo‘lib, u Ln–1(a)≠0 shartni qanoatlantiradi.

Masalan, x=–1 soni (10) tenglamaning oddiy ildizi bo‘ladi, chunki



.

Bunda haqiqatan ham yuqorida aytilgan tasdiq o‘rinli bo‘lib,



(11)

tenglik bajarilishini va L2(–1)=1≠0 ekanligini tekshirib ko‘rish mumkin.



2-TEOREMA: Agar x=a soni (9) tenglamaning, ya’ni R(x)=Qm(x)/Pn(x) ratsional kasr maxrajining oddiy ildizi bo‘lsa, unda R(x) kasrning (6) yoyilmasida bitta A/(x–a) ko‘rinishdagi I tur eng sodda ratsional kasrdan iborat qo‘shiluvchi qatnashadi.

Masalan, (8) ratsional kasrning maxraji uchun x=–1 oddiy ildizi bo‘lishini yuqorida ko‘rib o‘tdik va shu sababli ratsional kasrning (8) yoyilmasida bitta –5/(x+1) qo‘shiluvchi qatnashmoqda.

Agar (9) tenglamaning x=a ildizi uchun

shartlar bajarilsa, x=a bu tenglamaning s karrali ildizi deyiladi. Bu holda (7) tenglamaning chap tomonini Pn(x)=(x–a)sLn–s(x) [Ln–s(a)≠0] ko‘rinishda ifodalab bo‘ladi.

Masalan, P3(x)=x3x2–8x+12=0 tenglama uchun x=2 ikki karrali ildiz bo‘ladi. Haqiqatan ham

va


Download 0,88 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   60




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish