N. I. Asqarov R. A. Mullajonov

2.3-§.Chiziqli differensial tenglamalar sistemasining involyutsiyasi.

Biz endi involyutsiya xossasiga ega bo’lgan chiziqli tenglamalar sistemasini ko’rib chiqamiz. Quyidagi tasdiq o’rinli.

Teorema. Agar _{ } o’lchamli vector, _{ } va _{ } o’lchamli matritsalar bo’lsa, u holda

_{ } (20)

sistemaning

_{ }

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi

_{ }y (21)

sistemaning

_{ }

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimidan iborat.

Isboti. Berilgan sistemani _{ } bo’yicha differensiallab,

_{ }

tenglamani hosil qilamiz. (20) tenglamada _{ } almashtirish bajarsak,

_{ } (22)

tenglikni hosil qilamiz. (22) ni (21) ga qo’yib

_{ } (23)

tenglamani hosil qilamiz. Ammo (12) tenglamadan

_{ }

bo’lgani uchun (23) bir qator sodda hisoblashlardan keyin (21) ko’rinishni oladi.

Ikkinchi tomondan _{  } bo’lgani uchun _{ } tenglik kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.

Xususiy holda _{ } va _{ } kommutativ matritsalar bo’lsa, ya’ni _{ } bo’lsa, u holda _{ } bo’lib,

_{ }

bo’lgani uchun isbotlangan teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.

Natija. Agar _{ } o’lchamli vector, _{ } va _{ } o’lchamli kommutativ matritsalar bo’lsa, u holda

_{ }

sistemaning

_{ }

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi (20):

_{ }

sistemaning

_{ }

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi Koshi masalasining yechimidan iborat.

Misol. Ushbu

_{ }

sistemaning

_{ }

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi

_{ }

sistemaning

_{ }

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimidan iborat ekanligi yuqorida keltirilgan natijadan kelib chiqadi, chunki keltirilgan misolda

_{ }

kommutativ matritsalar va

_{ }

ekanligini e’tiborga olishimiz kifoya.