Mustaqil ishi mavzu: Muntazam ko’pyoqlarning hajmlari

---

2-oliy ta‟lim Matematika informatika yo‟nalishi 
2-bosqich talabasi Nishonova Zulayhoning Geometriya fanidan 
MUSTAQIL ISHI 
MAVZU:
Muntazam ko’pyoqlarning hajmlari
REJA: 
KIRISH 
1.Muntazam ko‟pyoqlar 
2. Muntazam kopyoqlarning hajmlari 
3. Eyler teoremasi 
4. Ko‟pyoqlar va aylanish figuralari kombinatsiyasi 
XULOSA 
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 

---

KIRISH 
O„zbekistоn Respublikasida amalga оshirilayotgan ta‟lim sоhasidagi 
islоhоtlar o„ziga xоs jamiyat hayotini yangilashda muhim o„rin tutadi. Jamiyatni 
ijtimоiy iqtisоdiy, ma‟naviy-madaniy taraqqiyotining asоsi bugungi kunda ta‟lim 
muassasalarida taxsil оlayotgan yoshlarning bilim darajasi va egallagan 
ko„nikmalariga bоg„liq. 
Yosh avlоdga geometriyani o‟qitishdan maqsad-tekislikdagi va fazodagi 
shakllarning xossalarini sistemali ravishda o‟rgatish va bu xossalarni hisoblash 
yo‟li bilan yechiladigan hamda konstruktiv xarakterdagi masalalarni yechishda 
qo‟llanish yo‟li bilan o‟quvchining fazoviy tasavvurlarini, mantiqiy tafakkurlarini 
rivojlantirish, hosil qilingan bilimlarni yer ustidagi o‟lchashda, har xil qurilmalarni 
sirtlarini va hajmlarini aniqlashda va shuning kabi amaliy ishlarni bajarishda 
foydalanishni o‟rgatishdir. 
Sistemali ravishda masalalar yechib borish nazariyani ongli va puxta 
o‟zlashtirishga yordam beradi, uning amaliy qiymatini ko‟rsatadi, shu bilan birga 
masala yechish o‟quvchini mantiqiy tafakkurini, ijodiy tashabbuskorliklarini, 
faxm-farosatlarini, tarbiyalaydi hamda ularga bir qancha zarur amaliy mahorat va 
malakalar beradi. 
Xususan, masalalarni o‟rganish ilmiy dunyoqarashni shakillantirishga 
sezilarli hissa qo‟shadi. Geometrik qonuniyatlarni bilish yordamida ko„plab 
hayotni yengilashtiruvchi masalalarni yechimini topa olamiz. 
Hоzirgi kunda umumta‟lim maktablari, akademik litsey va kasb-hunar 
kоllejlari matematika kursi dasturini mazmuni va uning bayon qilish metоdlarining 
asоsiy maqsadi o„quvchilarning shu fan bo„yicha egallaydigan bilimlari sistemasini 
yanada chuqurrоq shakillantirish, ularning bilim оlish jarayonini faоllashtirishdan 
ibоratdir. 
Muntazam ko‟pyoqlar 
Ko‟pyoqning barcha yoqlari kongurent muntazam ko‟pburchaklardan iborat 
bo‟lib, hamma ko‟pyoqli burchaklari ham kongurent bo‟lsa, u muntazam ko‟pyoq 
deb ataladi. Ravshanki, ko‟pyoqning har bir uchidan kamida uchta yog‟i o‟tganligi 
uchun yuqoridagi ikkinchi teoremaga asosan shu uchdagi barcha yassi 
burchaklarning yig‟indisi 4d dan kichikdir. Muntazam ko‟pyoqning yoqlari 
muntazam uchburchaklardan iborat bo‟lsa uning har bir uchidan uchta yoq o‟tishi 
(chunki 3*60<4d), to‟rtta yoq o‟tishi (chunki 4*60<4d), beshta yoq o‟tishi 
(5*60<4d) mumkin. Lekin bir uchdan oltita va undan ko‟p yoq o‟tishi mumkin 

---

emas. Demak, yoqlari muntazam uchburchakdan iborat faqatgina uch xil
muntazam ko‟pyoq mavjud bo‟lishi mumkin. Bular quyidagilardir: 
1.Muntazam to‟rtyoq, odatda muntazam tetraedr deb yuritilib uning 4 ta yog‟i, 
4 ta uchi va 6 ta qirrasi bor 
2.Muntazam sakkizyoq,oktaedr deb atalib, uning 8 ta yog‟i, 6 ta uchi va 12 ta 
qirrasi bor. 
3.Muntazam yigirmayoq, ikosaedr deb atalib, uning 20 ta yog‟i, 12 ta uchi va 
30 ta qirrasi bor. 
Endi yoqlari muntazam to‟rtburchakdan, ya‟ni kvadratdan iborat muntazam 
ko‟pyoqni ko‟raylik. Bunday muntazam ko‟pyoqning har bir uchidan faqat uchta 
yoq chiqishi mumkin(chunki 3*90<4d). Lekin bir uchdan to‟rtta va undan ortiq 
yoq chiqishi mumkin emas. Demak yoqlari muntazam to‟rtburchakdan iborat 
muntazam ko‟pyoq faqat bir tur bo‟lib, kubdan iborat, kubni ba‟zan geksaedr deb 
yuritiladi. Kub 6 ta yoqqa, 8 ta uchga va 12 ta qirraga ega. 
Yoqlari muntazam beshburchaklardan iborat muntazam ko‟pyoqlarning ham 
turi bittadir. Uni ba‟zan dodekaedr deb atalib, 12 ta yoqdan, 20 ta uchdan va 30 ta 
qirradan iboratdir. 
Demak, muntazam ko‟pyoqning yoqlari faqatgina muntazam uchburchak, 
muntazam to‟rtburchak, muntazam beshburchaklardangina iborat bo‟lib, ular 5 
turga bo‟linadi.Agar ko‟pyoqning barcha uchlari biror sferada yotsa, u holda bu 
sfera shu ko‟pyoqqa tashqi chizilgan deyiladi, agar ko‟pyoqning barcha yoqlari 
biror sferaga urinsa, bu sfera shu ko‟pyoqqa ichki chizilgan deb ataladi. 
Muntazam ko‟pyoqlar uchun quyidagi o‟rinli: har qanday muntazam 
ko‟pyoqqa doimo ichki va tashqi sferalar chizish mumkin. 
Muntazam ko‟pyoqlarning hajmlari 
To'g'ri burchakli parallelepipedning hajmi 
Teorema. To‟g‟ri burchakli parallelepipedning hajmi uning uchta o‟lchami: 
uzunligi a, eni b va balandligi c ko 'paytmasiga teng: 
V=abc 
Natija. To 'g'ri burchakliparallelepipedning hajmi asosining yuzi bilan 
balandligining ko 'paytmasiga teng: 

---

V=S H 
Lemma. Og'ma parallelepipedning hajmi shunday to'g'ri parallelepipedning 
hajmiga tengki, uning asosi og'ma parallelepipedning perpendikular kesimidan 
iborat, balandligi esa og'ma parallelepipedning yon qirrasiga tengdir. 
Teorema. Parallelepipedning hajmi asosining yuzi bilan balandligi ko'paytmasiga 
teng. 
Prizmaning hajmi. 
Prizmaning hajmini hisoblash formulasini keltirib chiqarishdan awal prizmalarning 
quyidagi xossasini ko'rib chiqamiz. 
Lemma. Og'ma prizma shunday to'g'ri prizmaga tengdoshki, to'g'ri prizmaning 
asosi og'ma prizmaning perpendikular kesimidan iborat bo'lib, balandligi esa og'ma 
prizmaning yon qirrasiga tengdir. 
Teorema. Uchburchakli prizmaning hajmi asosining yuzi bilan balandligi 
ko'paytmasiga teng.Kubning hajmi. Asosining yuzi balandlikka ko‟paytmasiga 
teng. 
Yuqorida keltirilgan muntazam ko‟pyoqlar quyidagi umumiy xossaga ega: har 
bir muntazam ko‟pyoqda uchlar bilan yoqlar sonlarining yig‟indisi qirralar sonidan 
ikkita ortiqdir. Haqiqatan ham har bir muntazam ko‟pyoq yoqlari sonini f, uchlari 
sonini l, qirralari sonini k bilan belgilasak, 
Tetraedr uchun: f=4, l= 4, k=6 
Oktaedr uchun: f=8, l=6, k=12 
Geksaedr uchun: f=6, l=8, k=12 
Ikosaedr uchun: f=20, l=12, k=30 
Dodekaedr uchun: f=12, l= 20, k=30 
Bularning hammasi uchun: f+l-k=2. 
Bu xossa faqat muntazam ko‟pyoqlar uchun o‟rinli bo‟lmasdan, quyidagi teorema 
bu xossaning keng sinfdagi ko‟pyoqlar uchun ham o‟rinli ekanini tasdiqlaydi. 
Teorema (Eyler teoremasi). Har qanday qavariq ko‟pyoqning yoqlari bilan uchlari 
sonini yig‟indisi qirralari sonidan ikkita ortiqdir. 

---

Isbot. Biror M qavariq ko‟pyoq berilgan bo‟lib, uning yoqlari soni f, uchlari soni l, 
qirralari soni k bo‟lsin. Bu holda: f+l-k=q desak, q=2 ekanini isbotlaymiz. 
Ko‟pyoqning barcha yoqlari birlashmasini S bilan belgilab, uni ko‟pyoq ko‟pyoq 
sirti deb ataylik. S dan bitta yoqning ichki qismini chiqarib tashlaylik, u holda 
qolgan sirtni S1 desak, bu sirtdagi yoqlar soni f1 avvalgi sirtga nisbatan bitta 
kamayib, uchlar soni l1, qirralar soni k1 o‟zgarmay qoladi, demak, 
S1 uchun f1+l1-k1=q-1 
Bu vaqtda ikkita hol yuz berishi mumkin: 
1-hol: S1 ning barcha yoqlari faqat uchburchaklardan iborat bo‟lishi mumkin. 
Faqat bitta yoqqa tegishli qirrani (uchni) chegaraviy qirra deb ataylik. Chegaraviy 
qirra yoki uch bo‟lgan yoqni ham chegaraviy yoq deb ataylik. Bundan ko‟rinadiki, 
qavariq ko‟pyoqning sirti chegaraviy yoqqa, chegaraviy qirraga va chegaraviy 
uchga ega emas. Masalan, parallelepiped sirtida chegaraviy qirra va chegaraviy 
uch yo‟q, lekin bir yoqning ichini chiqarib tashlasak, qolgan sirtda 4 ta chegaraviy 
qirra bo‟ladi. 
Qavariq ko‟pyoqning sirti kamida bitta chegaraviy bo‟lmagan qirraga egaligidan 
chegaraviy yoq uchburchakdan iborat bo‟lganda unda bitta yoki ikkita chegaraviy 
qirra va bittadan ortiq bo‟lmagan chegaraviy uch bo‟lishi mumkin. Ravshanki, yoq 
uchburchakdan iborat bo‟lganda , u chegaraviy uchga ega bo‟lishi uchun albatta 
ikkita chegaraviy qirraga ega bo‟lishi kerak. 
S1 sirtdan chegaraviy elementlarga ega bo‟lgan bitta yoqning ichini chegaraviy 
elementlari bilan chiqarib tashlaymiz, qolgan sirtni S2 bilan, uning yoqlari, 
qirralari va uchlari sonini mos ravishda f2, l2, k2 bilan belgilab f2+ l2- k2 ni 
hisoblaylik. Agar chiqarib tashlangan yoq bitta chegaraviy qirraga ega bo‟lsa (bu 
yoqda chegaraviy uch bo‟lmaydi), f2+ l2- k2=(f-l)+l1-(k1-1)=f1+l1-k1=q-1, agar 
chiqarib tashlangan yoq ikkita chegaraviy qirraga ega (albatta bu vaqtda bitta 
chegaraviy uch ham shu yoqqa tegishlidir) bo‟lsa, 
f2+ l2- k2=(f1-l)+(l1-1)-(k1-2)=f1+l1-k1=q-1. 
Demak, chegaraviy qirraga ega bo‟lgan bir yoqning ichini chegaraviy elementlari 
bilan chiqarib tashlasak, f1+l1-k1 ifoda o‟zgarmaydi. Xuddi shunga o‟xshash, S2 
dan chegaraviy elementga ega bo‟lgan bir yoqning ichini chegara elementlari bilan 
chiqarib tashlasak ham, 
f3+l3-k3=q-1 

---

shu ishni davom ettirib, oxiri bitta uchburchak (S ko‟pyoqli sirtning bitta yog‟i) 
qolguncha davom ettiramiz, ravshanki, uchburchak uchun f+l-k=1 dir. Yoqlarni 
bittadan kamaytirishda ft+lt-kt ifoda doimo q-1 ga teng bo‟lib, qolgani uchun q-
1=1 yoki q=2. Shuni isbot etish talab qilingan edi. 
2-hol: S1 sirtning yoqlari orasida tomoni uchtadan ko‟p bo‟lgan yoq bo‟lishi 
mumkin. Bu yoqning shunday dioganalini o‟tkazamizki, natijada bu yoqda kamida 
bitta uchburchak hosil bo‟lsin, agar shu dioganalni S1 ning qirrasi deb, hosil 
qilingan uchburchakni ham bir yoq desak, S1 da qirra va yoqlar soni bittadan ortib, 
uchlar soni o‟zgarmaydi, demak, f1+l1-k1 ifoda ham o‟zgarmaydi. 
Uchburchakli bo‟lmagan yoqlarni uchburchakli yoqlarga keltirishi bilan f1+l1-k1 
ifoda o‟zgarmas ekan. U holda S1 ning barcha yoqlari uchburchakdan iborat 
bo‟lib, 1-holga keltiriladi. 
Natija: muntazam ko‟pyoqlarning ko‟pi bilan 5 turi mavjuddir 
Isbot: Muntazam ko‟pyoqning har bir uchidan r ta qirra chiqib, har bir yoqqa n ta 
tomon bo‟lsin. U holda 2k=nf
⇒
2k=r*l. f= , l= ni Eyler teoremasidagi f, l 
ning o‟rniga qo‟ysak, 
=2 yoki = . (*) 
Ravshanki, n, r bir vaqtda 3 dan katta bo‟la olmaydi, aks holda
bo‟lib (*) ifoda o‟rinli bo‟lmaydi, chunki r>0 quyidagi hollar yuz berishi mumkin: 
a) 
n=3 bu vaqtda (*) dan r, k ning natural sonlar ekanligidan: r=3 da k=6; 
r=4 da k=30; buning geometrik ma‟nosi shundan iboratki, yoqlari muntazam 
uchburchakdan iborat muntazam ko‟pyoqning har bir uchidan 3 ta qirra chiqadi 
(tetraedr), 4 ta qirra chiqadi(oktaedr), 5 ta qirra chiqadi (ikosaedr). 
b) 
r=3, bu vaqtda (*) dan ; n, k ning natural sonlar ekanligidan: n=3 da k=6;
n=4 da k=12; n=5 da k=30. buning geometrik ma‟nosi shundan iboratki, har bir 
uchdan uchta yoq chiqib, ularning har biri muntazam uchburchak bo‟lishi mumkin 
(tetraedr), muntazam to‟rtburchak bo‟lishi mumkin (kub), muntazam beshburchak 
bo‟lishi mumkin (dodekaedr). Demak, muntazam ko‟pyoqning faqatgina 5 ta turi 
mavjuddir. 
Ko‟pyoqlar va aylanish figuralari kombinatsiyasi 
Prizma va aylanish figuralari kombinatsiyalari. Silindrga prizma ichki chizilgan 
deyiladi (silindr- prizmaga tashqi chizilgan), agarda prizma asosi silindr 
asosiga ichki chizilgan bo‟lsa. 

---

Teorema: Prizmaga tashqi silindr chizish uchun prizmaning to„g„ri va uning 
asosiga tashqi aylana chizish mumkin bo„lishi zarur va yetarlidir. 
Xususiy holda har qanday uchburchakli prizmaga va har qanday muntazam 
prizmaga tashqi silindr chizish mumkin. silindrga ichki chizilgan prizmaning har 
qaysi yon qirrasi silindrni yon yasovchisi deyiladi. 
Prizma silindrga tashqi chizilgan deyiladi (silindr –prizmaga ichki chizilgan), 
agarda prizma asosi silindr asosiga tashqi chizilgan bo„lsa. 
Teorema: Prizmaga ichki silindr chizish uchun prizmaning to„g„ri va uning 
asosiga ichki aylana chizish mumkin bo„lishi zarur va yetarlidir. 
Xususiy holda, har qanday uchburchakli prizmaga va har qanday muntazam 
prizmaga ichki silindr chizish mumkin. Silindrga tashqi chizilgan prizmaning 
yoqlari, silindrning yon sirtiga uning yasovchisi bo„yicha o„rinadi. Bu yasovchisi 
mos ravishda silindr asoslari va prizma asoslari o„rinish nuqtalaridan o„tadi. 
Prizma sharga ichki chizilgan deyiladi (shar esa prizmaga tashqi chizilgan), agarda
prizmaning uchlari shar sirtiga egishli bo‟lsa. 
Teorema: Prizmaga tashqi shar chizish uchun prizmani to„g„ri va uning asoslariga 
tashqi aylana chizish mumkin bo„lishi zarur va yetarlidir. 
Xususiy holda, har qanday muntazam prizmaga tashqi shar chizish mumkin. 
Prizmaga tashqi chizilgan sharning markazi, prizma asoslariga tashqi chizilgan 
aylanalar markazlarini tutashtiruvchi kesmaning o„rtasida bo„ladi. 
Prizmaning barcha yoqlari sharga o„rinsa, u holda shar prizmaga ichki chizilgan 
(prizmaga esa shar tashqi chizilgan) deyiladi. 
Teorema: Prizmaga ichki shar chizish uchun prizmaning perpendikulyar 
kesimiga ichki aylana chizish mumkin bo„lishi va prizmaning balandligi bu aylana 
diametriga teng bo‟lishi zarur va yetarlidir. 
Xususiy holda, muntazam prizmaga ichki shar chizish mumkin, qachonki, uning 
balandligi asosiga ichki chizilgan aylana diametriga teng bo„lsa. 
Teorema: Piramidaga ichki konus chizish uchun, piramida asosiga ichki aylana 
chizishning mumkin bo„lishi va piramidaning balandligi bu aylana markaziga 
tushishi zarur va yetarli. 

---

Xususiy holda, har qanday muntazam piramidaga ichki konus chizish mumkin. 
Piramida konusga ichki chizilgan deyiladi (konus esa piramidaga tashqi chizilgan), 
agar piramidaning uchi konus uchi bilan ustma-ust tushib hamda piramida asosi 
konus asosiga ichki chizilgan bo‟lsa. 
Teorema: Piramida tashqi konus chizish uchun piramidaning yon qirralari 
teng bo‟lishi zarur va yetarlidir. 
Piramida sharga ichki chizilgan deyiladi (shar esa piramidaga tashqi chizilgan), 
agar piramidaning uchlari shar sirtida yotsa.
Teorema: Piramidaga tashqi shar chizish uchun piramida asosiga tashqi aylana 
chizish mumkin bulishi zarur va yetarlidir. 
Xususiy holda , har qanday tetraedrga va muntazam piramidaga tashqi 
chizish mumkin. Piramidaga tashqi chizilgan shar markazi, asosiga tashqi chizilgan 
aylana markazidan o„tuvchi va asosiga perpendikulyar to„g„ri chiziqda yotadi. 
Shar piramidaga ichki chizilgan deyiladi (piramida esa sharga tashqi chizilgan), 
agar shar piramidaning barcha yoqlariga o„rinli bo‟lsa. 
Teorema: Har qanday tetraedrga ichki shar chizish mumkin. 
Teorema: Agar piramida asosiga ichki aylana chizish mumkin bo„lib va 
piramidaning balandligi shu aylana markaziga tushsa, u holda bu piramidaga ichki 
shar chizish mumkin. 
Xususiy holda , har qanday muntazam piramidaga ichki shar chizish mumkin. 
Aylanish figuralari kombinatsiyalari 
Shar konusga ichki chizilgan deyiladi (konus esa sharga tashqi chizilgan), agar 
shar konusning asosiga va har qaysi yasovchisiga urinsa. Har qanday konusga 
ichki shar chizish mumkin. Uning markazi o‟q kesimiga ichki chizilgan aylana 
markazi bilan ustma-ust tushib, shu bilan birga shar radiusi shu aylana radiusiga 
teng. Konus yasovchilari bilan sharning urinish nuqtalari to‟plami aylanadan iborat 
bo‟lib, u konus asosiga parallel tekislik bilan konus yon sirtining kesimidan iborat. 
Shar konusga tashqi chizilgan deyiladi (konus esa sharga ichki chizilgan), agar 
konusning uchi va asos aylanasi shar sirtida yotsa, istalgan konusga tashqi shar 
chizish mumkin. Tashqi chizilgan shar markazi konus o‟q kesimiga tashqi 
chizilgan aylana markai bilan ustma-ust tushib, radiusi shu aylana radiusiga teng. 

---

Shar silindirga ichki chizilgan deyiladi (silindir esa sharga tashqi chizilgan), agar 
shar silindirning har ichki asosiga va barcha yasovchilariga urinsa. 
Teorema: Silindirga ichki shar chizsh mumkin faqat va faqat silindir balandligi 
asos diametriga teng bo‟lsa. 
Ichki chizilgan shar markazi, silindir asoslari markazlarini tutashtiruvchi kesma 
o‟rtasida bo‟ladi.
Shar silindirga tashqi chizilgan deyiladi (silindir sharga ichki chizilgan), agar 
silindir asoslari aylanalari shar sirtida yotsa. 
Istalgan silindirga tashqi shar chizish mumkin. Tashqi chizilgan shar markazi 
silindr o‟q kesimiga tashqi chizilgan aylana markazi bilan ustma-ust tushib, radiusi 
shu aylana radiusiga teng bo‟ladi. 
Silindr konusga ichki chizilgan deyiladi, agar silindrning bitta asosi konus asosida 
yotib, ikkinchi asosi aylanasi konus yon sirtida yotsa. 

---

XULOSA 
Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, stereometriya bo‟limi eng murakkab 
bo‟limlardan biri bo‟lib, bo‟limga oid misol va masalalarni yechish o‟quvchidan 
chuqur bilim va keng tasavvurni talab etadi. Figuralarning taxminiy chizmasini 
chizish, ularni bo‟laklarga ajratish yoki bo‟laklardan butun bir figura hosil qilish va 
bu chizmalar yordamida masalalarning to‟g‟ri yechimlarini topish uchun 
o‟quvchida yetarli darajada nazariy bilim va boy tasavvur bo‟lishi lozim.Aynan 
ko‟pyoqlar, muntazam ko‟pyoqlarga oid misol va masalalarni ishlashda avvalo 
muntazam ko‟pyoqlarning turlarini bilish, ularni xossalarini bilish va ularning sirti, 
hajmlarini topish formulalarini o‟rganish zarur.Ushbu kurs ishining maqsadi ham 
muntazam ko‟poqlarning mana shu xossalarini o‟rganish, turlarini o‟rganish, 
ularning sirti va hajmlarini hisoblash formulalarini keltirib chiqarish va misol-
masalalarni turli xil oson usullar bilan ishlash yo‟llarini o‟rgatishdan 
iborat.Barchamizga ayonki, inson qalbiga yo‟l ta‟lim-tarbiyadan boshlanadi. 
Shuning uchun qachonki bu haqda gap ketsa, ajdodlarimiz qoldirgan bebaho 
merosini eslash bilan birga, ota-onalarimiz qatori biz uchun eng yaqin bo‟lgan 
yana bir buyuk zot ustoz va murabbiylarning oliyjanob mehnatini hurmat bilan 
tilga olamiz.
Biz yurtimizda yangi avlod, yangi tafakkur sohiblarini tarbiyalashdek 
mas‟uliyatli vazifani ado etishda birinchi galda ana shu kasb egalariga suyanamiz 
va tayanamiz, ertaga o‟rnimizga keladigan yoshlarning ma‟naviy dunyosini 
shakllantirishda ularning xizmati naqadar beqiyos ekanini o‟zimizga yaxshi 
tasavvur qilamiz. 

---

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 
1. 
O‟zbekiston Respublikasi kadrlar tayyorlash milliy dasturi. Barkamol avlod 
O„zbekiston taraqqiyotining poydevori. T. «SHarq» 1997 yil. 
2. 
M.A.Sobirov, A.E.Yusupova “Differentsial geometriya kursi” T., 
“O‟qituvchi” 1965. 
3. 
A.V.Pogorelov. Geometriya. M. "Nauka" 1983. 
4. 
A.V.Pogorelov “Differentsialnaya geometriya” M.: 1974. 
5. 
T. Bakirov “Juft ketma-ketliklar yordamida geometrik kattaliklarni
o‟lchash” (o‟quv metodik ko‟rsatma) FDU. 2010 y. 
6. ”Geometriya” 7-sinf uchun darslik. A. Azamov, B. Haydarov va 
boshqalar. T.: “Yangiyo‟l polegraf servis”-2013 
7. “Geometriya” 9-sinf uchun darslik. B. Haydarov va boshqalar. 
T.:”O‟zbekiston milliy ensiklopediyasi” davlat ilmiy nashriyoti- 2010 
8. 
A. A. Rahimqoriyev. “Geometriya” 8-sinf uchun darslik.T.: 
“Yangiyo‟l polegraf servis”-2010 
Internet saytlari: 
To‟liq matnli kutubxona www.lib.ru 
Maktabda axborot texnologiyalari 
www.edunet.uz 
Talaba-yoshlar sayti 
www.study.uz 
Bilim portali 
www.ziyonet.uz