Mustaqil Ishi Mavzu: Birinchi darajali bir nomalumli taqqoslamalarning yechimlari soni haqidagi teoremaning isboti va unga doir misollar yechish

Ushbu ax=b (modm) ia,b e Z, Vm e TV) ko‘rinishdagi taqqoslama bir noma ’lumli birinchi darajali taqqoslama deyiladi.

Agar f{x)—a()xp+axxn~l+ ...+an_lx+an, a¡(=Z, p — tub son, (a0, p)= 1 bolsa, u holda/(x) = 0 (mod p) taqqoslama tub modulli n-darajali bir noma’lumli taqqoslama deyiladi.

.1-misol. 1 ■ x = 10 (mod4) taqqoslamaning yechimlarini taqqoslama xossalaridan foydalanib toping.Yechish. (7,4)=1 ekanligidan taqqoslama yagona yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. 7 va 11 sonlari 4 dan katta bo‘lganligi uchun 7 • x= 3x (mod 4) va 10 = 2 (mod 4) lardan foydalanib, 3x= 2 (mod 4) ni hosil qilamiz. Bundan 3x= —x (mod 4) ni e’ti- borga olib, — x= 2(mod 4) ni, va nihoyat x= —2(mod 4) ni hosil qilamiz.Agar —2 = 2(mod 4) ni qollasak, u holda x= 2(mod 4) kelib chiqadi.Tekshirish: 7-2=10 (mod 4),14 = 10 (mod 4) => (14 — 10) = 4:4kelib chiqadi

2-misol. Taqqoslama xossalaridan foydalanib, 27x= 47 (mod 38) taqqoslamaning yechimlarini toping.Yechish. 47 =9 (mod 38) dan 27x= 9 (mod 38) hosil bo‘ladi.(27.38)=1 bo‘lgani uchun taqqoslama yagona yechimga ega.(9.38)=1 bolgani uchun taqqoslamaning ikkala tomonini 9 ga bo‘lamiz: 3x= 1 (mod 38).Taqqoslamaning o‘ng tomoniga 38 ni qo‘shamiz: 3x= 39 (mod 38). Hosil bo£lgan taqqoslamaning ikkala tomonini (3,38)= 1 bo‘lgani uchun 3 ga bo‘lamiz: x= 13 (mod 38).Tekshirish: 27 • 13 - 47 = 304 = (38 • 8) i 38.

2-misol. Taqqoslama xossalaridan foydalanib, 27x= 47 (mod 38) taqqoslamaning yechimlarini toping.Yechish. 47 =9 (mod 38) dan 27x= 9 (mod 38) hosil bo‘ladi.(27.38)=1 bo‘lgani uchun taqqoslama yagona yechimga ega.(9.38)=1 bolgani uchun taqqoslamaning ikkala tomonini 9 ga bo‘lamiz: 3x= 1 (mod 38).Taqqoslamaning o‘ng tomoniga 38 ni qo‘shamiz: 3x= 39 (mod 38). Hosil bo£lgan taqqoslamaning ikkala tomonini (3,38)= 1 bo‘lgani uchun 3 ga bo‘lamiz: x= 13 (mod 38).Tekshirish: 27 • 13 - 47 = 304 = (38 • 8) i 38.
3-misol. Berilgan 7x= 10 (mod 4) taqqoslamani tanlash usuli bilan yeching.Yechish. ax= b (mod m) taqqoslamaning yechimlarini tanlash usuli bilan topish uchun awal yechimlar sonini aniqlaymiz. So‘ngra m modul bo‘yicha chegirmalar to‘la sistemasidagi har bir sinfning yechim bo‘lish-bo‘lmasligini tekshiramiz.7x= 10 (mod 4) taqqoslamada (7,4) = 1.Demak, yagona yechim mavjud. 4 modul bo‘yicha chegirmalar to‘la sistemasidagi 0, 1, 2, 3 sonlar x noma’lum o‘miga birma- bir qo‘yib tekshiriladi. Qaysidir chegirmalar sinfi yechim bo‘lishi ma’lum bo‘lsa, tekshirish jarayonini to‘xtatamiz:
x=0 da 7 • 0= 10 (mod 4) o‘rinli emas, chunki (0—10)/ 4;x=l da 7 • 1 10 (mod 4) o‘rinli emas, chunki 7—10=3/ 4;x= 2 da 7 • 2= 10 (mod 4) o‘rinli, chunki 14—10=4 : 4.x= 2 (mod 4) yechim bo‘ladi. Qolgan sinflar berilgan taqqoslamaning birgina yechimi mavjud bo‘lganligi sababli, tekshiril- maydi.Tekshirish. 7*2 — 10 = 14 — 10 = 4:4.