Teorema(Glivenko-Kantelli). Ixtiyoriy uchun quyidagi munosabat o‘rinli
Demak n ortgani sari funksiya ga barcha x larda 1 ehtimollik bilan tekis yaqinlashar ekan.
3. Nisbiy chastota, gistogrammasi va poligoni
Tajribalar soni katta bo‘lsa, tajriba natijalari statistik qatori ham katta bo‘ladi. Shuning uchun, ko‘p hollarda intervallik statistik qatordan foydalanish maqsadga muvofiq bo‘ladi.
Faraz qilaylik, biron-bir usul bilan tajriba natijalari intervallarga ajratilgan bo‘lsin. Har bir intervaldagi kuzatilmalarning chastotasini hisoblaymiz. Olingan ma’lumotlar asosida jadval tuzamiz. Hosil bo‘lgan jadval tanlanma majmua deyiladi.
1-misol. Ma’lum masofa 100 marta o‘lchanganda yo‘l qo‘yilgan xatolar quyidagilardan iborat:
Guruhlar
|
[-20;-15)
|
[-15;-10)
|
[-10;-5)
|
[-5;0)
|
[0;5)
|
[5;10)
|
[10;15)
|
[15;20]
|
Guruhlardagi xatolar soni
|
2
|
8
|
17
|
24
|
26
|
13
|
6
|
4
|
Chastotalar
|
0.02
|
0.08
|
0.17
|
0.24
|
0.26
|
0.13
|
0.06
|
0.04
|
Statistik majmuaning grafik tasviri gistogramma deyiladi. Uni qurish uchun tasodifiy miqdorning qiymatlar sohasini uzunligi h ga teng bo‘lgan k ta oraliqlarga bo‘linadi va kuzatilmalarning har bir oraliqqa tushgan sonlari aniqlanadi.
Masalan, - soni i - oraliqqa tushgan kuzatilmalar soni bo‘lsin, u holda .
Chastotalar gistogrammasi deb asoslari oraliq uzunligi h ga teng bo‘lgan va balandliklari bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklardan tuzilgan shaklga aytiladi. Chastotalar gistogrammasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
2-rasm.
Hosil bo‘lgan fuguraning yuzasi n ga teng, chunki , .
Nisbiy chastotalar gistogrammasi deb asoslari h bo`lgan, balandliklari bo`lgan to`rtburchaklardan tuzilgan pog`onali figuraga aytiladi. Bu holda hosil bo`lgan figura yuzasi 1 ga teng.
Misol. Masofa 100 marta o`lchanganda hosil bo`lgan xatolarning nisbiy chastotalar gistogrammasini yasang. Buning uchun 1-jadvaldan foydalanamiz.
2-rasmdan ko`rinib turibdiki, nisbiy chastotalar gistogrammasi xatolar taqsimotining zichlik funksiyasiga yaqin bo`ladi. Bu yaqinlik yanada aniqroq bo`lishi talab qilinsa, nisbiy chastotalar poligonidan foydalangan ma`qul.
Tekislikda nuqtalarni siniq chiziqlar bilan birlashtirishdan hosil bo`lgan figura nisbiy chastotalar poligoni deyiladi.
3-rasm.
Tanlanma xarakteristikalari. Ma`lumki, ehtimollar nazariyasida taqsimot funksiyani bilish shu taqsimot funksiyasiga ega bo`lgan tasodifiy miqdor haqida to`liq ma`lumotga ega bo`lishni anglatadi. Ammo juda ko`p amaliy masalalarni hal qilishda tasodifiy miqdorni to`liq bilish shart bo`lmay, balki uning ayrim sonli xarakteristikalarini bilish kifoya bo`ladi. Tasodifiy miqdorning asosiy sonli xarakteristikalari bu-matematik kutilma va dispersiyalardir. Matematik kutilma tasodifiy miqdorning qiymatlari zich joylashadigan o`rta qiymatni anglatsa, dispersiya esa tasodifiy miqdor qiymatlarini shu o`rta qiymat atrofida qanchalik tarqoqligini bildiradi. Shunga o`xshash sonli xarakteristikalarni statistik taqsimot funksiyasiga nisbatan ham kiritish mumkin. Matematik kutilmaning statistik o`xshashi empirik o`rta qiymat yoki tanlanma o`rta qiymatidan iborat bo`ladi va u (1) amaliy qiymat yordamida quyidagicha aniqlanadi
. (4)
O‘rta qiymatni quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
, (5)
bu yerda har bir variantaning mos chastotasidir.
Empirik dispersiya yoki tanlanma dispersiyasi esa quyidagicha aniqlanadi:
, (yoki ) (6)
r-ichi tartibli tanlanma momentlar va markaziy momentlar ham shunga o`xshash aniqlanadi:
(7)
Agar tajribalar soni cheksiz katta bo`lsa barcha statistik taqsimot xarakteristikalari nazariy sonli xarakteristikalarga yaqin bo`ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |