Mustaqil ish mavzu: Graflarda erkin uchlarni tanlash, bo‘yash. To‘plamlarning to‘plam ostilarini aniqlash, birlashtirish

To‘plamlarning to‘plam ostilarini aniqlash, birlashtirish. To‘plam tushunchasi. To‘plam tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, u ta’riflanmaydi va u haqida misollar yordamida tasavvur hosil qilinadi. To‘plam deganda predmetlar yoki ob’yektlarni biror xossasiga ko‘ra birgalikda qarash tushuniladi. Masalan, barcha natural sonlar to‘plami, bir talabalar uyida yashovchi talabalar to‘plami, to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plami, maktabdagi o‘quvchilar to‘plami va h.k. Hayotda to‘plamlar alohida nomlanadi: auditoriyadagi talabalar to‘plami – guruh, harflar to‘plami – alfavit, qushlar to‘plami – gala, qo‘ylar to‘plami – poda va h. k. 24 soni bo'luvchilari to'plami A={1,2,3,4,6,8,12,24} va 8 soni bo'luvchilari to'plami B={1,2,4,8} bo'lsin. Bu to'plamlarni solishtirganda B to'plam elementlari A to'plam elementlarining bir qismi ekanligini ko'ramiz. B to'plam A to'plamning qism to'plami bo'ladi. Agar B to'plamning har bir elementi A to'plamning elementidan iborat bo'lsa, B to'plamga A to'plamning to'plam ostisi deyiladi. U quyidagicha belgilanadi: B ^ A yoki A ^ B
Misollar:

1. 
   B - fakultet talabalari to'plami A - institut talabalari to'plami
   

B ^ A ekanligini ko'rish mumkin.

2. 
   M-uchburchaklar to'plami
   

N- to'g'ri burchakli uchburchaklar to'plami bo'lsin. Har qanday to'g'ri burchakli uchburchak , uchburchak bo'ladi , shuning uchun N ^ M

3. 
   N-Natural sonlar to'plami
   

Z-butun sonlar to'plami , ko'rinib turibdiki N ^ Z To'plam osti ta'rifiga asosan , har bir to'plam o’zining to'plam ostisi bo'la oladi: A. Bundan tashqari, bo'sh to'plam ixtiyoriy A to'plamning to'plam ostisidir: 0 <= A
Har qanday A to'plam uchun to'plam ostisining ikkita turini ko'rsatish mumkin:

1. 
   A va 0 xosmas to'plam ostisi deyiladi
   
2. 
   A ning qolgan to'plam ostilari xos to'plam ostilari deb aytiladi.
   

Masalan: A={m,n,p} to'plam oltita xos to'plam ostiga ega {m},{n},{p}, {m,n},{m,p}, {n,p}. Ikkita xosmas to'plam ostiga ega: {m,n,p}, 0.
To'plam osti tushunchasini biz ko'p ishlatamiz. O'zbek tilida gapdagi so'zlar to'plamining turli xil to'plam ostilarini ko'rib chiqamiz: ot, sifat, son, fe'l va hokazolar. Geografiya va tarixda mamlakatlar, shaharlar va hokazo to'plamlarning to'plam ostilarini o'rganamiz.
To'plam osti tushunchasi matematikada keng qo'llanadi. O'n ichidagi sonlar to'plami natural sonlar to'plamining to'plam ostisidir, o'z navbatida buni butun sonlar to'plamining to'plam ostisi sifatida ham qarash mumkin. Romb, kvadrat, to'g'ri to'rtburchaklar parallelogrammning turli xil to'plam ostilaridir.
To'plam osti quyidagi asosiy xossalarga ega:

1. 
   xossa: Agar B ^ A va A ^ B bo'lsa, u holda A=B bo'ladi.
   

Bu xossadan ko'pincha to'plamlar tengligini isbotlashda foydalaniladi, ya'ni agar A to'plamning har bir elementi B to'plamning elementi bo'lsa, va aksincha, B to'plamning har bir elementi A to'plamning elementi bo'lsa, u holda ular teng bo'ladi.

2. 
   xossa: Agar A ^ B va B ^ C bo'lsa, u holda A ^ C bo'ladi (tranzitivlik)
   

Haqiqatdan ham , agar A to'plamning har bir elementi B to'plamining elementidan iborat bo'lsa, va B to'plamning har bir elementi C to'plamning elementidan iborat bo'lsa, u holda, A to'plamning har bir elementi C to'plamning ham elementi bo'ladi. Ikki to'plamdan yangi to'plam hosil qilishning yana bir usulini ko'rib chiqamiz.
Ta'rif: A va B to'plamlarning barcha elementlaridan tuzilgan to'plamga to'plamlarning birlashmasi deb aytiladi . A va B to'plamlar birlashmasi A ^ B kabi belgilanadi, bu erda ^ simvoli birlashma belgisidir.
Masalan: 1) A={m,n,p,k,l} va B={p,r,s,n} to'plamlarning birlashmasi A^ B={m,n,p,k,l,r,s} dan iborat.

1. 
   A- biror sinfdagi voleybol to'garagiga qatnashuvchi o'quvchilar to'plami: B- shu sinfdagi matematika to'garagiga qatnashuvchi
   

o'quvchilar to'plami. A ^ B to'plamga voleybol yoki matematika to'garagiga qatnashuvchi o'quvchilar kiradi. Bular orasida faqat matematika to'garagiga qatnashuvchi, yoki faqat voleybol to'garagiga qatnashuvchi, yo bo'lmasa, ham voleybol, ham matematika to'garagiga qatnashuvchi o'quvchilar bo'lishi mumkin.
A ^ B to'plamning ixtiyoriy x elementi "x e A yoki xeB" xossaga ega. Ta'rifga asosan to'plamlar birlashmasini quyidagicha yozish mumkin:
A ^ B={x/xe A yoki xe B}
Eyler-Venn diagrammalarida A ^u B quyidagicha tasvirlanadi:



Birlashma amalining xossalari:

1. 
   xossa: To'plamlarning birlashmasi kommutativlik xossasiga ega:
   

A u B=B u A

2. 
   xossa: Ixtiyoriy A,B,C to'plamlarning birlashmasi assotsiativlik
   

xossasiga ega :
(A u B) u C= A u (B u C)
Bu xossa ham kesishma amaliga o'xshash (A^u B)^u C ifodani qavssiz yozish mumkinligini ko'rsatadi, ya'ni A u B u C shaklda yozish mumkin. Isbot: x^e (A ^u B)^u C bo'lsin, ta'rifga asosan, x ^e A ^u B yoki x^e C, bu erdan xe A, yoki xe B yoki xe C. To’plamlar birlashmasi ta’rifiga ko’ra xe A u (B u C)
Demak, (A u B) u C to'plamining har bir elementi A ^u (B ^u C)to'plamining ham elementi bo'lyapti, to'plam osti munosabati ta'rifiga ko'ra
(A u B) u C c A u (B u C) (1)
Xuddi shunday teskarisini ham isbotlash mumkin , ya'ni A u (B u C) c (A u B) u C (2)
Bu (1) va (2) munosabatlarga to'plam ostining 1-xossasini qo'llasak, to'plamlarning tengligi kelib chiqadi, ya'ni (A ^u B)^u C= A ^u (B ^u C)

3. 
   xossa: Agar B ^c A bo'lsa, unda A ^u B=A bo’ladi.
   

Misol: 1) A=Z ; B=N; Z u N=Z 2)A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B={2,4,6,8}, BcA , AuB=A.
To'plamlarning berilish usullari To'plam asosan ikki usulda beriladi:

1. 
   Elementlarni bevosita keltirish yoki sanash yordamida beriladi. Agar a, b,c - A to'plamning turli ob'ektlar belgilari bo'lsa, A to'plam quyidagicha yoziladi: A={a,b,c} va quyidagicha o'qiladi "A to'plam a,b,c elementlardan iborat". Bu usul chekli to'plamlarda qo'llaniladi, lekin bu shart bilan birga elementlar soni to'plamda ko'p bo'lmasligi kerak.
   
2. 
   Elementlarning xarakteristik xossasiga qarab beriladi. Masalan, A natural sonlar to'plami 6 dan kichik. Bu to'plam ikkinchi usulda berilgan : hamma A to'plam elementlarining xarakteristik xossasi ko'rsatilgan, ya'ni natural son bo'lish va 6 sonidan kichik bo'lishi asosida.
   

A to'plam elementlarini 1-usulda quyidagicha yozish mumkin: A={ 1,2,3,4,5 } To'plam elementining ayrim xarakteristik xossasi ko'rsatilgan bo'lsa ,uni quyidagicha ifodalaymiz: qavsda element belgisi yoziladi, keyin vertikal chiziq o'tkaziladi, so'ng to'plam elementlarining xossasi yoziladi. Masalan: 6 dan kichik bo'lgan A natural sonlar to'plami quyidagicha yoziladi: A={x / x ^£ N, x<6} bu erda N- natural sonlar to'plami. To'plam cheksiz bo'lganda ikkinchi usuldan foydalaniladi, Masalan : markazi 0 nuqtada r radiusli aylanada yotuvchi M nuqtalarning A to'plami quyidagicha yozish mumkin: A={M / | OM| =r}.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:

1. 
   Н.Я.Виленкин, А.М.Пишкало. Математика-М. «Просвещение», 1977.
   
2. 
   А.А.Столяр, Л.П.Лелчук. Математика-Минск.1975.
   
3. 
   Н.Я.Виленкин. Индукция. Комбинаторика. М. «Просвещение». 1976.
   
4. 
   А.Худойберганов. Математика. Т. «Укитувчи», 1980.
   
5. 
   Р.Иброхимов. Математикадан масалалар туплами. Т. «У китувчи», 1995.