Mustaqil ish mavzu : Algebraik sistemalar tushunchasi va ularga doir misollar yechish

1-ta’rif. Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda * algebraik operatsiya assotsiativ bo‘lsa, ‹A, *› algebra yarim gruppa deyiladi.
2-ta’rif. Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda quyidagi xossalar o‘rinli bo‘lsa, ‹A, *› algebra gruppa deyiladi:
a) A to‘plamning ixtiyoriy ɑ,b,c elementlari uchun ɑ*(b*c)=(ɑ *b) munosabat o‘rinli bo‘lsa, ya’ni binar * algebraik operatsiya assotsiativ bo‘lsa;
b) A to‘plamning ixtiyoriy a elementi uchun shunday eA element mavjud bo‘lib, u a*e=e*a=a shartni qanoatlantirsa, ya’ni A to‘plamda neytral element mavjud bo‘lsa;
c) A to‘plamning ixtiyoriy a elementi uchun shunday  element mavjud bo‘lib, u quyidagi a* shartni qanoatlantirsa, ya’ni A to‘plamning har bir elementiga simmetrik element mavjud bo‘lsa.
Ta’rifdan ko‘rinadiki, ‹A,*,e, › algebra gruppa bo‘lishi uchun * algebraik operatsiya bo‘lib, u assotsiativ bo‘lishi hamda A to‘plamda e neytral,  simmetrik elementlar mavjud bo‘lishi kerak ekan.
3-ta’rif. Agar A to‘plamda berilgan * algebraik operatsiya kommutativ bo‘lsa, ya’ni ixtiyoriy a,bA uchun a*b=b*a o‘rinli bo‘lsa, ‹A,*,e, › gruppa * binar algebraik operatsiyaga nisbatan kommutativ gruppa deyiladi. Kommutativ gruppa ba’zi hollarda Abel gruppasi deb ham ataladi.
1-misol. Binar «*» algebraik operatsiyani «+» qo‘shish amali bilan almashtiraylik. A to‘plamda + amali gruppa hosil qiladi:
a)  a,b,c,A uchun (a+b)+c=a+(b+c) bajariladi, ya’ni qo‘shish amali assotsiativ;
b)  aA uchun shunday e=0 neytral element mavjud, a+0=0+a=a;
d) A to‘plamning ixtiyoriy a elementi uchun a+(-a)=0 shartni qanoatlantiruvchi simmetrik (-a) element mavjud.
Ma’lumki, qo‘shish amali kommutativdir, shuning uchun ‹A, +, 0, - ɑ› algebra kommutativ, ya’ni Abel gruppasidir.
2-misol. Haqiqiy sonlar to‘plami R qo‘shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi.
Haqiqatan ham,  a,b,cR uchun
a) (a+b)+c=a(b+c) assotsiativlik xossasi o‘rinli;
b)  aR uchun 0R mavjudki, a+0=a;
d)  aR uchun -aR topiladiki, a+(-a)=0.
Qo‘shish amali haqiqiy sonlar to‘plamida kommutativ, assotsiativ bo‘lganidan va R da neytral va simmetrik element mavjudligidan ‹R,+,0,-a› kommutativ gruppa bo‘lishi kelib chiqadi.
Agar «*» algebraik operatsiya sifatida «+» qo‘shish amali olinib, ‹A,+› algebra qo‘shish amaliga nisbatan gruppa bo‘lsa, bunday gruppalar additiv gruppalar deyiladi.
Agar «*» algebraik operatsiya sifatida «·» qo‘shish amali olinib, ‹A, ·› algebra ko‘paytirish amaliga nisbatan gruppa bo‘lsa, bunday gruppalar multiplikativ gruppalar deyiladi.

2.5 Halqa va uning ta’rifi.

Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda ikkita binar algebraik operatsiya berilgan bo‘lsin. Aniqlik uchun binar algebraik operatsiyalar uchun «qo‘shish» va «ko‘paytirish» amallarini qabul qilaylik.