|
MUXAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
SAMARQAND FILIALI
5330300 - Axborot xavfsizligi (sohalar bo’yicha) yo’nalishi 308- gurux
“Mashinali o`qitish kirish” fanidan
MUSTAQIL ISH - 2
Mavzu : Chiziqli algebraning asosiy tushunchalari
Bajardi; Panjiyev A.
Qabul qildi: Kubayev S.
Reja
Chiziqli tenglamalar sistemasi
Kroneker-Kapelli teoremasi
Gauss va Gauss-Jordan usullari
Asosiy qism
Chiziqli algebra — mat.ning chiziqli fazolar va ularning chizikli akslantirishlarini oʻrganuvchi boʻlimi. Chiziqli algebraning rivojlanishi 19-asrda chiziqli tenglamalarning umumiy nazariyasi vujudga kelishi bilan boshlandi. Chizikli tenglamalarni oʻrganish jarayonida qoʻllana boshlagan aniqlovchi (determinant) vektorlar, matritsalar kabi tushunchalar mat.da oʻzaro qoʻshish va skalyarga koʻpaytirish mumkin boʻlgan obʼyektlar alohida oʻrin tutishini anglashga, ularni boshqa konkret xossalaridan ajralgan hodda oʻrganishga olib keldi. 19-asr oxirida ikkinchi tartibli sirtlarning tenglamalarini kanonik (eng sodda) koʻrinishga keltirish masalasi Chiziqli algebra masalasidan iborat ekanligi aniklangach, Chiziqli algebra koʻp oʻlchovli fazo analitik geometriyasi bilan qoʻshilib ketdi va chizikli, bichizikli, kvadratik formalar, chizikli almashtirish va akslantirish, Yevklid fazosi, proyektiv fazo tushunchalari bilan boyidi.
Differensial geom. va mexanika ehtiyoji bilan Chiziqli algebra da vektorlarni umumlashtiruvchi tenzorlar, chiziqli va bichizikli formalarni umumlashtiruvchi yarimchizikli forma tushunchalari kiritildi. Chiziqli algebraning tenzorlar algebrasi, yarimchiziqli algebra kabi boʻlimlari vujudga keldi.
n ta nomalumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi deb, ushbu
ko‘rinishdagi chiziqli tenglamalarning chekli to‘plamiga aytiladi. Bunda a i j n ij , 1, sonlar berilgan sistemaning koeffitsientlari, b i n i 1, esa,sistemaning ozod hadlari deyiladi. Bu (6.1) sestemadagi noma’lumlarning koeffisiyentlaridan n - tartibli ushbu detrminantni tuzamiz:
Bu determinant (6.2) sistemaning determinanti deyiladi. Bunda ikki hol bo’lishi mumkin: D 0 va D 0 . Biz hozircha D 0 bo’lgan holni ko’raylik. (6.2) sistemaning birinchi tenglamasini A1s s 1,n algebraik to’ldiruvchiga, ikkinchisini A2s ga,..., n–sini Ans ga ko’paytirib, natijalarni hadlab qo’shamiz:
shaklini oladi. (6.7) tenglikning o’ng tomonidagi yig’indini (6.5) bilan solishtirib, D determinantning s- ustundagi a s a s ans , ,..., 1 2 elementlarini, mos ravishda, b b bn , ,..., 1 2 ozod hadlar bilan almashtirsa, determinant kelib chiqadi. Shunday qilib, bu determinant quydagi
ko’rinishga ega bo’ladi. Demak, (6.7) ni s Ds D x shaklda yozib, bundan (s 1,2,...,n) D D x s s (6.8) tengliklarga ega bo’lamiz. Bu tengliklar Kramer qoidasi deyiladi. 6.2-teorema. Agar (6.2) sistemaning (6 .3) determinanti noldan farqli bo’lsa, ya’ni D 0 , u holda bu (6.2) sistema yechimga ega va bu yechim yagonadir. Bu yechim (6.8) formulalar bo’yicha, ya’ni Kramer qoidasi bo’yicha hosil qilinadi
Bizga m nomu’lum n ta chizikli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin, ya’ni
(7.1) sistemaning noma’lumlarini ketma-ket yo’qotish usuli yoki Gauss usuli bilan yechimini topamiz. Noma’lumlarni ketma-ket yo’qotish bilan berilgan sistema uchburchak shaklga kelib qoladi. Agar (7.1) sistemadagi biror tenglamani ikkinchisiga qo’shganda yoki har qanday haqiqiy songa ko’paytirganda, (7.1) sistemaga ekvivaliyent tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Faraz qilaylik, (7.1) dagi a11 0 bo’lsin. (7.1) sistemadagi birinchi tengalamani 11 a ga bo’lamiz. U holda
hosil qilingan (7.2) tenglamaga 21 31 1 , ,..., a a an sonlarni ketma-ket ko’paytirib sistemaning tenglamalariga qo’shamiz, u holda ushbu
sistemaga ega bo’lamiz. (7.3) tenglamalar sistemasi (7.1) sistemasiga ekvivaliyent ekanligi bizga ma’lum
Bunda birinchi tenglamaga mutlaqo tegmaymiz va (7.3) sistemaning birinchi tenglamasidan tashqari barcha tenglamalaridan iborat qismini almashtirish kerak deb hisoblaymiz. Bunda bu tenglamalar ichida chap tomonlarining barcha koeffisiyentlari nolga teng bo’lgan tenglamalar mavjud emas deb hisoblaymiz, albatta, bunday tenglamalarni, agar ularning ozod hadlari ham nolga teng bo’lsa, tashlab yuborgan bular edik, aks holda esa sistemaning birgalikda emasligini isbot qilgan bular edik. Shunday qilib, 22 32,..., 2 , n c c c koeffisentlar orasida noldan farqlilari bor; aniqlik uchun c22 0 deb qabul qilamiz. (7.3) sistemaning ikkinchi tenglamasining hamma hadlarini 22 c ga bo’lamiz, so’ngra uni mos ravishda 22 32 2 , ,... n c c c sonlarga ko’paytirib uchinchi, turtinchi va boshqa tenglamalarga qo’shamiz, u holda
sistemaga ega bo’lamiz. Agar bu tenglamalardan biri noldan farqli ozod hadga ega bo’lib, chap tomonidagi barcha koeffisiyentlari esa nolga teng bo’lgan sistemaga ega bo’lib qolsa, u holda bu sistema yechimga ega bo’lmaydi. Agar o’zgaruvchilar soni bilan tenglamalar soni (m n) teng bo’lib va (7.1) sistema birgalikda (yechimga ega) bo’lsin, u holda (7.4) sistema quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
bunda nn a ,c , p ,...,r 11 22 33 koeffisiyentlar hammasi noldan farqli. (7.1) sistemaning oxirgi tenglamasidan xn noma’lum uchun nn n n r x tayin bir qiymat hosil qilamiz. Bu qiymatni oxiridan ikkinchi tenglamaga qo’yib, n1 x xn-1 noma’lum uchun bir qiymatli aniqlangan tayin qiymatni topamiz. Shunday davom ettirib, (7.1) sistemaning n x , x ...x 1 2 yagona yechimiga ega bo’lamiz. Agar o’zgaruvchilar soni tenglamalar sonidan ko’p n m bo’lsa, u holda almashtirishlar yordamida (7.4) sistema quyidagi ko’rinishga keladi:
Bunda n n n x , x ,...x 1 2 lardan iborat ozod noma’lumlarga ixtiyoriy qiymatlar berib, uchburchakli sistemani hosil qilamiz, so’ngra yuqoridagi uslub bilan ketma – ket 1 1 x , x , , x n n noma’lumlarni aniqlaymiz. Agar n n m x , x , , x 1 2 ga ixtiyoriy qiymatlar berish mumkinligini e’tiborga olsak, bu holda berilgan (7.1) sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi.
Ushbu n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasini ko’raylik:
U holda (7.7) sistemani matrisalarni ko’paytirish qoidasidan foydalanib, ushbu ekvivalent shaklda yozish mumkin: AX B, (7.9) bu yerda A noma’lumlar oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan matrisa, B – ozod hadlardan tuzilgan ustun matrisa, X noma’lumlardan tuzilgan ustun matrisa. Agar A matrisa xosmas, ya’ni det A 0 bo’lsa, u holda uning uchun 1 A teskari matrisa mavjud. (7.9) matrisali tenglamaning ikkala qismini 1 A ga chapdan ko’paytirib, qo’yidagini hosil qilamiz:
Do'stlaringiz bilan baham: |
