Murakkab va teskari funksiyalarning hosilalari

yoki

•  

Isbot. ga ixtiyoriy orttirma beramiz, u vaqtda funksiya ham orttirmaga ega bo’ladi: funksiya uzluksiz bo’lgani uchun da bo’lishini ta’kidlab, ushbuga ega bo’lamiz:

Isbot. ga ixtiyoriy orttirma beramiz, u vaqtda funksiya ham orttirmaga ega bo’ladi: funksiya uzluksiz bo’lgani uchun da bo’lishini ta’kidlab, ushbuga ega bo’lamiz:

Bundan limitga o’tsak, o’ng tomonidagi maxraj limitga intiladi. Demak, chap tomon uchun qiymatga teng limit mavjud. Bu esa hosiladan iboratdir. Shunday qilib, sodda

formulaga ega bo’lamiz.

•  

Murakkab funksiyaning hosilasi.

Murakkab funksiyaning hosilasi.

Aytaylik, bo‘lib, ular yordamida murakkab funksiya tuzilgan bo‘lsin.

Agar funksiya nuqtada hosilaga ega bo‘lib, funksiya u nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda murakkab funksiya x nuqtada hosilaga ega va ya’ni

bo’ladi

◄Ravshanki,

◄Ravshanki,

bo‘lganda

bo‘lib,

bo‘ladi. Ayni paytda

bo‘ladi. Keyingi tenglikdan topamiz:

(ravshanki,

). Demak,

Teskari funksiyaning hosilasi

Teskari funksiyaning hosilasi

 

• Aytaylik, funksiya da berilgan bo‘lib, u teskari funksiyaga ega bo‘lsin. Agar funksiya nuqtada hosilaga ega bo‘lib, bo‘lsa, teskari funksiya ham nuqtada

hosilaga ega va bo‘ladi.

◄ x va y o‘zgaruvchilarning orttirmalari va

◄ x va y o‘zgaruvchilarning orttirmalari va

lar uchun bo‘ladi. Ayni

paytda da bo‘lib, .

Keyingi tenglikdan topamiz:

Demak, .►

berilgan bo‘lsin.

Ravshanki bu funksiyalar mos ravishda

Ravshanki bu funksiyalar mos ravishda

funksiyalarga nisbatan teskari funksiyalardir.

Teskari funksiyaning hosilasini hisoblash qoidasidan foydalanib topamiz:

Agar bo‘lib, bo‘lsa, u holda

Agar bo‘lib, bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.

Agar bo‘lsa, bo‘ladi.

Xuddi yuqoridagidek ko‘rsatish mumkinki,

bo‘lsa, bo‘ladi.

Agar bo‘lsa, bo‘ladi.

bo‘lsin. Ma’lumki,

Kasrning hosilasini hisoblash qoidasidan foydalanib topamiz:

Kasrning hosilasini hisoblash qoidasidan foydalanib topamiz:

Agar bo‘lsa, bo‘ladi.

Xuddi shunga o‘xshash bo‘lsa, bo‘ladi.

Agar bo‘lsa, bo‘ladi.

bo‘lib, va funksiyalar va hosilalarga ega bo‘lsin. Avvalo logarifm ta’rifidan foydalanib, berilgan

bo‘lib, va funksiyalar va hosilalarga ega bo‘lsin. Avvalo logarifm ta’rifidan foydalanib, berilgan

funksiyani quyidagicha yozib olamiz. So‘ng hosila hisoblash va murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash qoidalaridan foydalanib topamiz:

Hosilalar jadvali

Hosilalar jadvali

Yuqorida funksiya hosilalari uchun topilgan formulalarni jamlab, ularni jadval ko‘rinishida yozamiz:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

13)

Endi hosilalar jadvali hamda hosila hisoblash qoidalaridan foydalanib funksiyalarning hosilalarini topamiz:

Endi hosilalar jadvali hamda hosila hisoblash qoidalaridan foydalanib funksiyalarning hosilalarini topamiz:

1-misol. bo‘lsin. Bu funksiyaning hosilasi

bo‘ladi.

2-misol. bo‘lsin. .

3-misol. bo‘lsin.

 

.