Murakkab va teskari funksiyalarning hosilalari

yoki qisqacha

•  

Isbot. Teoremaning shartiga asosan

• Isbot. Teoremaning shartiga asosan

Shuning uchun nisbatning o’zi limit bilan cheksiz kichikning yig’indisiga teng bo’ladi:

Bu yerda kattalik ga bog’liq bolib, u bilan birga nolga intiladi. (1) dan

(2) ni hadma-had ga bo’lsak:

•  

Agar nolga intilsa, u holda ham nolga intiladi, shu bilan birga bilan bog’langan kattalik ham nolga intiladi. (3) da ni nolga intiltirib limitga o’tsak:

Quyidagi murakkab funksiyalarning hosilalari topilsin:

1-misol.

Yechish. (4) formulaga asosan

2-misol.

Yechish.

•  

Teorema. Agar 1) funksiya nuqtada chekli va noldan farqli hosilaga ega; 2) bu funksiya uchun nuqtada uzluksiz teskari funksiya mavjud bo’lsa, u holda teskari funksiya uchun nuqtada ga teng hosila mavjud bo’ladi, ya’ni

• Teorema. Agar 1) funksiya nuqtada chekli va noldan farqli hosilaga ega; 2) bu funksiya uchun nuqtada uzluksiz teskari funksiya mavjud bo’lsa, u holda teskari funksiya uchun nuqtada ga teng hosila mavjud bo’ladi, ya’ni