Muntazam ko’pyoqliklar. Ularning yoyilmalari va modellarini yasash. Reja

YOqlarining proyeksiyalari esa qirralarning proyeksiyalari bilan chegaralangan SʹAʹBʹ va SʹʹAʹʹBʹʹ, SʹAʹSʹ va SʹʹAʹʹSʹʹ,… tekis rasmlardan iborat bo‘ladi. Ko’pyoqliklar sirtidagi ixtiyoriy ye(Eʹʹ) nuqtaning yetishmagan Eʹ proyeksiyasi yon tekislikka tegishli ixtiyoriy ℓ(ℓʹ, ℓʹʹ) to‘g‘ri chiziq vositasida yasaladi (6.10-rasm). Koʻpyoqlik — tekis koʻpburchaklar bilan chegaralangan geometrik jism. Bu tekis koʻpburchaklar K.ning yoklari, koʻpburchak tomonlari K.ning qirralari, koʻpburchak uchlari esa K.ning uchlari deyiladi. K.ning yoklari koʻpyoqli sirt hosil qiladi Odatda, tasvirlangan jismlarga oʻxshash jismlar K. qatoridan chiqarib tashlanadi. Shuning uchun K.ni taʼriflashda koʻpyoqli sirtga (yoqqa) quyidagicha cheklash qoʻyiladi:1) har bir qirra ikki va faqat ikki yoq uchun umumiy boʻlsin (bunday yoklar qoʻshni deb ataladi); 2) har bir ikki yoqni ketma-ket qoʻshni yoqlar zanjiri bilan tutashtirish mumkin boʻlsin; 3) har bir uch uchun yoklarning shu uchga tegishli burchaklari biror bir koʻp yokli burchakni chegaralasin.
K. ixtiyoriy yogʻidan oʻtuvchi tekislikning bir tomonida yotsa, u qanariq deyiladi. Har qanday qanariq K. uchun uning uchlari soni U, qirralari soni Q va yoqlar soni Yo orasida quyidagi Eyler formulasi oʻrinli: U — Q + Yo = 2. Qanariq boʻlmagan K. uchun umuman olganda, Eyler formulasi oʻrinli emas. Odatda, X = U— Q+Yo miqdor K.ning Eyler harakteristikasi deyiladi.
Agar qanariq K.ning barcha yokdari bir ismli muntazam koʻpburchaklar va barcha koʻpyokli burchaklari teng boʻlsa, bunday K. muntazam K. deyiladi. Hammasi boʻlib beshta muntazam K. mavjud boʻlib, ular tetraedr, kub, oktaedr, dodekaedr (oʻnikkiyoq) va ikosaedr (yigirmayoq)lardir. Dodekaedr va ikosaedr ham xuddi kub va oktaedr singari oʻzaro bogʻliq, yaʼni dodekaedr yoklarining markazi ikosaedr uchlari boʻladi va aksincha. Fazoda besh xil muntazam K. mavjudligi ajoyib faktdir, chunki tekislikda muntazamkoʻpburchaklar soni cheksiz koʻp.
Hamma muntazam K. Yunonistonda maʼlum boʻlgan. Yevklidning mashhur "Negizlar"ining 13-kitobi ana shularga bagʻishlangan (qarang ). Bu K.ni, koʻpincha, Platon jismlari deb atashadi. Yunonistonning buyuk olimi Platon bu jismlardan toʻrttasini olamning 4 elementiga oʻxshatgan: tetraedr — olov, kub — yer, ikosaedr — suv, oktaedr — havo. Byoshinchi K. — dodekaedrni esa butun olam tuzilishining belgisi, "beshinchi mohiyat" deb atashgan.