Мундарижа Кириш

1.3.4. Йиғиндини ҳисоблаш формулалари
Алгоритмлар таҳлили чоғида қандайдир ўлчовлар тўламини йиғишимизга тўғри келади. Келинг бизда циклли алгоритм бўлсин. Агар ўзгарувчи 5 қиймат қабул қилса, у ҳолда цикл 5 марта бажарилади, агар қиймат 20 қабул қилса у ҳолда 20 марта. Умуман, агар цикл ўзгарувчиси қиймати М га тенг бўлса, у ҳолда цикл М марта бажарилади. Агар цикл ўзгарувчиси 1 то N гача қийматларни қабул қилса, у ҳолда циклнинг барча бажарилишлари йиғинди сони 1 дан N гача булган натурал сонлар йиғиндисига тенг бўлади. Биз бу йиғиндини шаклда ёзамиз. Белгининг пастки қисмида ўзгарувчининг бошланғич қиймати турибди, устки қисмида эса – унинг сўнгги қиймати. Агар қандайдир қиймат йиғинди шаклида ёзилган бўлса, уни бошқа ўхшаш ифодалар билан солиштириш учун соддалаштириш керак. Икки ва сонлардан каттасини аниқлаш осон эмас. Шу сабабли йиғиндиларни соддалаштириш учун қуйидаги формулалардан фойдаланамиз. Бунда С– i га боғлиқ бўлмаган доимий.
(1.8)
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)


(1.12) тенглик 0 дан N гача сонлар йиғиндиси N дан 0 гача бўлган сонлар йиғиндисига тенглигини билдиради. Айрим ҳолларда бу тенгликни қўллаш ҳисоблашни осонлаштиради.
(1.13)
(1.14)
(1.15)
(1.15) тенгликни эслаб қолиш жуда осон, агар 1 дан N гача сонларни жуфтлаб ажратсак. 1 ни N билан, 2 ни N -1 билан ва ҳ.к. бирлаштириб чиқсак ҳар бири N +1 тенг бўлган сонлар тўпламини ҳосил қиламиз. Бундай сонлар албатта дастлаб берилган сонларнинг ярмига, яъни N/2 га тенг.шу туфайли бар N сонларнинг йиғиндиси қуйидагига тенг
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.18) тенгликни иккилик сонлар бўйича осон эслаб қолиш мумкин. Иккининг нолдан ўнгача даражалари йиғиндиси иккилик 11111111111 сонига тенг. Бу сонга 1 ни қўшиб 100000000000 ни оламиз, яъни 2¹¹. лекин бу натижа иккининг нолдан ўнгача даражалари йиғиндисидан 1 га кўп, шу сабабли йиғинди 2¹¹-1 га тенг. Энди агар 10 ўрнига N ни қўйсак у ҳолда (1.18) тенгликка келамиз.


исталган А сони учун (1.19)
(1.20)
(1.21)
(1.22)
Йиғиндиларни соддалаштиришда дастлаб уларни (1.8)–(1.12) тенгликлар ёрдамида кичик содда йиғиндиларга ажратиш мумкин, сўнгра қолган айниятлар ёрдамида йиғиндиларни алмаштириш мумкин.