Mundarija: Kirish I bob. Irratsional tenglama haqida tushuncha

Eslatma: Ekvivalentlik sharti, ayniqsa, trigonometrik tenglamalarni yechishda foydali bo'lib, bunda ODZni topish trigonometrik tengsizliklarni yechish bilan bog'liq bo'lib, bu trigonometrik tenglamalarni yechishdan ancha qiyin. Belgilanish trigonometrik tenglamalar hatto sharoitlar g(x)≥ 0 ni qilish har doim ham oson emas.Irratsional tenglamalarning ikkinchi turini ko'rib chiqing.
. Tenglama bo'lsin  . Uning ODZ:
ODZda ikkala tomon ham manfiy emas va kvadratlashtirish ekvivalent tenglamani beradi. f(x) =g(x). Shuning uchun, ODZda yokiUshbu yechim usuli bilan funktsiyalardan birining manfiy emasligini tekshirish kifoya - siz oddiyroqni tanlashingiz mumkin.

2. 
   Irratsional tenglamalar turlari
   

1 - usul. Tenglamaning ikkala tomonini ketma-ket mos keladigan tabiiy quvvatga ko'tarish orqali radikallardan ozod qilish
Irratsional tenglamalarni yechishda eng ko'p qo'llaniladigan usul - bu tenglamaning ikkala qismini ketma-ket mos keladigan tabiiy kuchga ko'tarish orqali radikallardan ozod qilish usuli³. Bunday holda shuni yodda tutish kerakki, tenglamaning ikkala qismi ham toq darajaga ko'tarilganda, hosil bo'lgan tenglama dastlabki tenglamaga ekvivalent bo'ladi va tenglamaning ikkala qismi juft darajaga ko'tarilganda, natijada tenglama, umuman olganda, dastlabki tenglamaga ekvivalent bo'lmaydi. Buni tenglamaning har ikki tomonini har qanday teng kuchga ko'tarish orqali tekshirish oson. Ushbu operatsiya natijasida tenglama olinadi  , uning yechimlari to'plami yechimlar to'plamlari birlashmasi: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Biroq, qaramay Bu kamchilik, bu tenglamaning ikkala qismini ba'zi (ko'pincha hatto) quvvatga ko'tarish tartibi, bu irratsional tenglamani ratsional tenglamaga kamaytirishning eng keng tarqalgan protsedurasidir.
Tenglamani yeching:
Qayerda  ba'zi polinomlardir. Haqiqiy sonlar to'plamida ildizni ajratib olish operatsiyasining ta'rifi tufayli noma'lum https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gifning ruxsat etilgan qiymatlari" width=" 123 balandligi=21" balandligi="21">..gif " width="243" balandligi="28 src=">.
1-tenglamaning ikkala qismi kvadrat bo'lganligi sababli, 2-tenglamaning barcha ildizlari asl tenglamaning echimi bo'lmasligi mumkin, shuning uchun ildizlarni tekshirish kerak.
2 usul. Qo'shni shartlar tizimini almashtirish
Juft tartibli radikallarni o'z ichiga olgan irratsional tenglamalarni yechishda javoblarda begona ildizlar paydo bo'lishi mumkin, ularni aniqlash har doim ham oson emas. Chet ildizlarni aniqlash va yo'q qilishni osonlashtirish uchun irratsional tenglamalarni echish jarayonida u darhol qo'shni shartlar tizimi bilan almashtiriladi. Tizimdagi qo'shimcha tengsizliklar aslida echilayotgan tenglamaning ODZ ni hisobga oladi. Siz ODZni alohida topishingiz va uni keyinroq hisobga olishingiz mumkin, ammo shartlarning aralash tizimlaridan foydalanish afzalroqdir: tenglamani echish jarayonida uni hisobga olmaslik, biror narsani unutish xavfi kamroq. Shuning uchun ba'zi hollarda aralash tizimlarga o'tish usulini qo'llash yanada oqilona.
Tenglamani yeching: 
Bu tenglama tizimga teng
Javob: tenglamaning yechimlari yo'q.
3 usul. n- ildizning xossalaridan foydalanish⁴
Irratsional tenglamalarni yechishda n-darajali ildiz xossalaridan foydalaniladi. arifmetik ildiz n- th orasidan darajalar lekin manfiy bo'lmagan raqamga qo'ng'iroq qiling, n- darajasi teng bo'lgan i lekin. Agar n- hatto( 2n), keyin a ≥ 0, aks holda ildiz mavjud emas. Agar n- g'alati( 2 n+1), u holda a har qanday va Keyin:
2. 
3. 
4. 
5. 
Ushbu formulalarning har qandayini rasmiy ravishda (ko'rsatilgan cheklovlarni hisobga olmagan holda) qo'llashda, ularning har birining chap va o'ng qismlarining ODZlari boshqacha bo'lishi mumkinligini yodda tutish kerak. Masalan, ifoda bilan aniqlanadi f ≥ 0 Va g ≥ 0, va ifoda quyidagi kabi f ≥ 0 Va g ≥ 0, shu qatorda; shu bilan birga f ≤ 0 Va g ≤ 0.
1-5 formulalarning har biri uchun (ko'rsatilgan cheklovlarni hisobga olmagan holda) uning o'ng qismining ODZ chap tomondagi ODZ dan kengroq bo'lishi mumkin. Bundan kelib chiqadiki, 1-5 formulalarni rasmiy ravishda "chapdan o'ngga" (ular yozilganidek) ishlatish bilan tenglamani o'zgartirish asl tenglamaning natijasi bo'lgan tenglamaga olib keladi. Bunday holda, dastlabki tenglamaning begona ildizlari paydo bo'lishi mumkin, shuning uchun tekshirish dastlabki tenglamani echishda majburiy qadamdir⁵.
1-5 formulalarini rasmiy ravishda "o'ngdan chapga" qo'llash bilan tenglamalarni o'zgartirish qabul qilinishi mumkin emas, chunki asl tenglamaning ODZ ni va natijada ildizlarning yo'qolishini baholash mumkin.
bu asl nusxaning natijasidir. Bu tenglamaning yechimi tenglamalar to‘plamini yechishgacha keltiriladi  .
Shunday qilib, ildizlar berilgan tenglama faqat (-1) va (-2) raqamlari bo'lishi mumkin. Tekshirish shuni ko'rsatadiki, ikkala topilgan ildiz ham bu tenglamani qanoatlantiradi.
Javob: -1,-2.
Tenglamani yeching: .
Yechish: identifikatorlarga asoslanib, birinchi hadni bilan almashtiring. E'tibor bering, chap tomondagi ikkita manfiy bo'lmagan sonlar yig'indisi sifatida. Modulni "olib tashlang" va shunga o'xshash shartlarni keltirgandan so'ng, tenglamani yeching. Chunki, biz tenglamani olamiz. O'shandan beri va  , keyin
Javob: x = 4.25.
4 usul. Yangi o'zgaruvchilarni kiritish
Irratsional tenglamalarni yechishning yana bir misoli yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli bo'lib, ularga nisbatan oddiyroq irratsional tenglama yoki ratsional tenglama olinadi.
Tenglamani uning natijasi bilan almashtirish orqali irratsional tenglamalarni yechish (keyinchalik ildizlarni tekshirish bilan) quyidagicha amalga oshirilishi mumkin:
1. Asl tenglamaning ODZ ni toping.
2. Tenglamadan uning xulosasiga o‘ting.
3. Hosil bo‘lgan tenglamaning ildizlarini toping.
4. Topilgan ildizlar asl tenglamaning ildizlari ekanligini tekshiring.
Tekshiruv quyidagicha:
A) ODZning har bir topilgan ildizining dastlabki tenglamaga tegishliligi tekshiriladi. ODZga tegishli bo'lmagan ildizlar asl tenglama uchun begonadir.
B) dastlabki tenglamaning ODZ ga kiritilgan har bir ildiz uchun ularning bor-yo'qligi tekshiriladi bir xil belgilar asl tenglamani yechish jarayonida yuzaga keladigan va teng kuchga ko'tarilgan har bir tenglamaning chap va o'ng qismlari. Har qanday tenglamaning teng kuchga ko'tarilgan qismlari bo'lgan ildizlar turli belgilar, asl tenglama uchun begonadir.
C) faqat dastlabki tenglamaning ODZ ga tegishli bo'lgan va dastlabki tenglamani yechish jarayonida yuzaga keladigan va teng darajaga ko'tarilgan har bir tenglamaning ikkala qismi bir xil belgilarga ega bo'lgan ildizlar to'g'ridan-to'g'ri almashtirish orqali tekshiriladi. asl tenglama.⁶
Ko'rsatilgan tekshirish usuli bilan hal qilishning bunday usuli oxirgi tenglamaning topilgan ildizlarining har birini to'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri o'rnini bosgan holda, qiyin hisob-kitoblardan qochish imkonini beradi.
Irratsional tenglamani yeching:
.
Ushbu tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari to'plami:
O'rnatish , almashtirishdan keyin biz tenglamani olamiz

yoki uning ekvivalent tenglamasi uchun kvadrat tenglama sifatida qarash mumkin. Ushbu tenglamani yechib, biz olamiz
.
Demak, dastlabki irratsional tenglamaning yechimlar toʻplami quyidagi ikkita tenglamaning yechimlar toʻplamining birlashuvi hisoblanadi:
, .
Ushbu tenglamalarning har ikki tomonini kub qilib, ikkita ratsional algebraik tenglamani olamiz:
, .
Ushbu tenglamalarni yechish, biz bu irratsional tenglamaning bitta ildizi x = 2 ekanligini aniqlaymiz (hech qanday tekshirish shart emas, chunki barcha transformatsiyalar ekvivalentdir).
Javob: x = 2.
Irratsional tenglamani yeching:
2x2 + 5x - 2 = t ni belgilang. Keyin asl tenglama shaklni oladi  . Hosil boʻlgan tenglamaning ikkala qismini kvadratga aylantirib, oʻxshash hadlarni keltirish orqali biz avvalgi tenglamaning natijasi boʻlgan tenglamani olamiz. Undan topamiz t=16.
Noma'lum x ga qaytsak, biz 2x2 + 5x - 2 = 16 tenglamasini olamiz, bu asl nusxaning natijasidir. Tekshirish orqali biz uning ildizlari x1 \u003d 2 va x2 \u003d - 9/2 asl tenglamaning ildizlari ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Javob: x1 = 2, x2 = -9/2.
5 usul. Identifikatsiya tenglamasini o'zgartirish
Irratsional tenglamalarni yechishda irratsional tenglamaning yechimini ratsional algebraik tenglamani yechishgacha kamaytirishga urinib⁷, tenglamaning ikkala qismini ham tabiiy kuchga ko‘tarish bilan tenglama yechishni boshlamaslik kerak. Birinchidan, tenglamani qandaydir bir xil o'zgartirishni amalga oshirish mumkinligini ko'rish kerak, bu uning yechimini sezilarli darajada soddalashtiradi.
Tenglamani yeching:

Ushbu tenglamani ga bo'ling.
.
Biz olamiz:
a = 0 uchun tenglamaning yechimlari bo'lmaydi; uchun, tenglamani quyidagicha yozish mumkin bu tenglama uchun hech qanday yechim yo'q, chunki har qanday uchun X, tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari to'plamiga tegishli, tenglamaning chap tomonidagi ifoda ijobiy; tenglama yechimga ega bo'lganda Tenglamaning ruxsat etilgan yechimlari to'plami shart bilan aniqlanganligini hisobga olib, biz nihoyat olamiz⁸:
Biz ushbu bo'limni jiddiy nazariy munozara bilan yakunlaymiz. Gap shundaki. Siz allaqachon turli xil tenglamalarni echishda biroz tajribaga ega bo'ldingiz: chiziqli, kvadrat, ratsional, irratsional. Bilasizki, tenglamalarni echishda turli xil o'zgarishlar amalga oshiriladi, masalan: tenglama a'zosi qarama-qarshi belgili tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga o'tkaziladi; tenglamaning ikkala tomoni bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytiriladi yoki bo'linadi; maxrajdan qutulish, ya'ni = 0 tenglamasini p (x) = 0 tenglama bilan almashtiring; Tenglamaning ikkala tomoni ham kvadratdir.